Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d. d yd t+2 t y=2 t e^-t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem dydt + 2t,y = 2t e^-t^2. O conteúdo da matéria é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para transformar a equação em uma forma exata.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(t). Para uma equação da forma dydt + p(t)y = g(t), temos
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 2t,dt = e^t^2

Passo 3

Multiplicar toda a equação original pelo fator integrante e^t^2. Assim,
e^t^2dydt + 2t e^t^2y = 2t e^t^2e^-t^2 = 2t
O lado esquerdo fica exatamente a derivada de y e^t^2, ou seja,
ddtl(y e^t^2r) = 2t

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(y e^t^2r),dt = integral 2t,dt
Isso dá
y e^t^2 = t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y para obter a solução geral. Basta dividir por e^t^2:
y(t) = (t^2 + C)e^-t^2

Resposta

A solução geral da equação é y(t) = (t^2 + C)e^-t^2, onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados