Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
y^prime+x y=x^3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + x,y = x^3
O conteúdo é o método do fator integrante. Vamos encontrar um fator integrante mu(x) tal que multiplicar a equação por mu(x) torne o lado esquerdo uma derivada exata.

Passo 2

Para uma equação da forma y' + P(x),y = Q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx
Aqui P(x)=x, logo
mu(x) = e^integral x,dx = e^x^2/2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^x^2/2y' + x,e^x^2/2y = x^3,e^x^2/2
O lado esquerdo é agora a derivada do produto y,e^x^2/2, ou seja,
l(y,e^x^2/2r)' = x^3,e^x^2/2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^x^2/2 = integral x^3,e^x^2/2,dx + C
Para calcular integral x^3 e^x^2/2dx, fazemos u = x^2/2, du = x,dx, e então
integral x^3e^x^2/2dx = integral x^2,(x,dx),e^u = integral 2u,e^u,du = 2l(u-1r)e^u + C1 = (x^2-2)e^x^2/2 + C1

Passo 5

Substituindo de volta em y,e^x^2/2 e resolvendo para y, obtemos
y,e^x^2/2 = (x^2-2)e^x^2/2 + C Longrightarrow y = x^2 - 2 + C,e^-x^2/2,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x^2 - 2 + C,e^-x^2/2

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