Resolva:
(y sen(x)+x y cos (x)) d x+(x sen(x)+1) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(ysin(x)+x,ycos(x)),dx+(xsin(x)+1),dy=0,
que é do tipo exato. Para resolver precisamos verificar a exatidão, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0 e depois escrever a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=ysin(x)+x,ycos(x), N(x,y)=xsin(x)+1
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=sin(x)+xcos(x), partial Npartial x=sin(x)+xcos(x)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que partial F/partial x=M. Integramos M em relação a x:
integrall(ysin(x)+x,ycos(x)r),dx =yintegralsin(x),dx+yintegral xcos(x),dx
Calculamos
integralsin(x),dx=-cos(x), integral xcos(x),dx =xsin(x)-integralsin(x),dx =xsin(x)+cos(x)
Logo a parte em x fica
-ycos(x)+yl(xsin(x)+cos(x)r) =x,ysin(x)
Portanto
F(x,y)=x,ysin(x)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo partial F/partial y=N temos
partial partial yl(x,ysin(x)+h(y)r) =xsin(x)+h'(y) stackrel!=xsin(x)+1
Logo h'(y)=1 e, integrando, h(y)=y. Assim
F(x,y)=x,ysin(x)+y

Resposta

A solução geral implícita é
x,ysin(x)+y=C,
ou equivalentemente
yl(xsin(x)+1r)=C,
com constante arbitrária C.

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