Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
y^prime prime+sin (x) y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + sin(x),y = 0
por séries de potências em torno de x=0. Vamos usar o método de Frobenius: supor
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
expandir sin(x) e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Começamos pelas expansões conhecidas:
sin(x)=summ=0^infty(-1)^m(2m+1)!x^2m+1, y(x)=sumn=0^inftyan x^n, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2
Para comparar coeficientes de x^n é conveniente reindexar y'':
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

O termo sin(x),y(x) é o produto de duas séries, logo
sin(x),y(x) =summ=0^inftysumk=0^infty(-1)^m(2m+1)!,ak,x^2m+1+k =sumn=0^inftyl(summ=0^lfloor (n-1)/2rfloor(-1)^m(2m+1)!,an-(2m+1)r)x^n
Substituindo em y''+sin(x)y=0 e agrupando em potências de x^n obtém–se para todo n>=0:
(n+2)(n+1)an+2 +summ=0^lfloor (n-1)/2rfloor(-1)^m(2m+1)!,an-(2m+1)=0

Passo 4

Essa fórmula dá uma recorrência geral:
an+2 =-1(n+2)(n+1) summ=0^lfloor (n-1)/2rfloor(-1)^m(2m+1)!,an-(2m+1)
Os coeficientes iniciais a0 e a1 ficam livres (definem as duas soluções fundamentais).

Passo 5

Para ver o padrão, calculamos os primeiros an:
n=0:\quad 2a2+0=0 implies a2=0.
n=1:\quad 6a3+a0=0 implies a3=-tfraca06.
n=2:\quad 12a4+a1=0 implies a4=-tfraca112.
n=3:\quad 20a5+(a2-tfraca06)=0 implies a5=tfraca0120.
n=4:\quad 30a6+(a3-tfraca16)=0 implies a6=tfraca0+a1180.
n=5:\quad 42a7+l(a4-tfraca26+tfraca0120r)=0 implies a7=tfrac10,a1-a05040.

Passo 6

Logo a solução geral em série é
y(x)=a0l(1 -x^36 +x^5120 -x^75040 +cdotsr) +,a1l(x -x^412 +x^6180 +x^7504 +cdotsr),
onde a0 e a1 são constantes de integração definidas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x)=a0l(1 -tfracx^36 +tfracx^5120 -tfracx^75040 +cdotsr) +,a1l(x -tfracx^412 +tfracx^6180 +tfracx^7504 +cdotsr)

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