Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por séries de potências em torno de
. Vamos usar o método de Frobenius: supor
expandir
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Começamos pelas expansões conhecidas:
Para comparar coeficientes de
é conveniente reindexar
:
Passo 3
O termo
é o produto de duas séries, logo
Substituindo em
e agrupando em potências de
obtém–se para todo
:
Passo 4
Essa fórmula dá uma recorrência geral:
Os coeficientes iniciais
e
ficam livres (definem as duas soluções fundamentais).
Passo 5
Para ver o padrão, calculamos os primeiros
:
:\quad
.
:\quad
.
:\quad
.
:\quad
.
:\quad
.
:\quad
.
Passo 6
Logo a solução geral em série é
onde
e
são constantes de integração definidas pelas condições iniciais.