Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
de duas maneiras: (1) por séries de potências e (2) por um método elementar qualquer, e depois verificar se as soluções coincidem.
Informações dadas: a equação acima, função desconhecida e nenhuma condição inicial. Não há figura ou tabela. O objetivo é encontrar a família geral de soluções.
Informações dadas: a equação acima, função desconhecida
Passo 2
Preparação para resolver por séries — ideia e hipóteses. Vou procurar uma solução na forma de série de potências centrada em
. Ou seja, suponho que exista uma série
onde os
são coeficientes reais (constantes). Essa suposição é o punto de partida do método por séries: escrevemos
como soma de potências e igualamos coeficientes após substituir na equação diferencial. Também preciso da derivada termo a termo: se a série converge num certo raio, podemos derivar termo a termo e obter
Aqui eu explico: a derivada termo a termo é justificada quando a série tem raio de convergência positivo — estamos fazendo uma técnica formal que, no fim, será verificada pela solução encontrada.
Passo 3
Substituindo as séries na equação. Multiplico
por
:
A série para
é
A equação
passa a ser, como igualdade de séries,
Passo 4
Igualando coeficientes de potências de
. Para uma igualdade de séries de potências válida numa vizinhança de
temos igualdade dos coeficientes de
para todo
.
- Para
: no lado esquerdo não há termo em (a soma do lado esquerdo começa em ), então o coeficiente é . No lado direito o coeficiente é . Logo
- Para
: os coeficientes dão
Reescrevendo,
Isto significa que, para cada
, ou
ou
. Em outras palavras:
- se
a equação é , então é livre (coeficiente arbitrário); - se
então .
Assim todos os coeficientes são zero, exceto possivelmente
. Como já vimos
.
Passo 5
Construindo a solução obtida pela série. Com os coeficientes acima a série fica
Chamo a constante arbitrária
de
. Logo a família de soluções obtida pelo método de séries é
onde
é uma constante real. Note que
dá a solução trivial
.
Pequena observação didática: a série encontrada é um polinômio de grau 1, portanto tem raio de convergência infinito; a derivação termo a termo estava justificada e a solução é de fato analítica em todo
.
Passo 6
Resolução pelo método elementar (separação de variáveis). Reescrevo a equação isolando
:
Trata-se de uma equação separável (ou simplesmente de uma equação linear de primeira ordem fácil). Faço separação de variáveis:
Integro ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Posso incorporar o sinal em uma constante
arbitrária (real), obtendo
Incluo também a solução
(esta corresponde a
). Assim a solução geral encontrada pelo método elementar é a mesma:
.
Passo 7
Verificação direta e comentário sobre singularidade em
. Substituo a solução
na equação original para checar:
portanto a igualdade é satisfeita para qualquer
. Observação importante: a forma padrão
tem singular em
, então o teorema de existência e unicidade clássico (que exige coeficientes contínuos em torno do ponto) não garante unicidade de solução passando por
. De fato, todas as soluções
têm
, logo o problema com condição inicial
não determina
— há infinitas soluções que passam por esse ponto. Isso explica por que o método por séries centrado em
ainda funcionou (encontrou a série analítica), mas a equação é singular quando vista na forma
.