Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
x y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y'=y
de duas maneiras: (1) por séries de potências e (2) por um método elementar qualquer, e depois verificar se as soluções coincidem.
Informações dadas: a equação acima, função desconhecida y(x) e nenhuma condição inicial. Não há figura ou tabela. O objetivo é encontrar a família geral de soluções.

Passo 2

Preparação para resolver por séries — ideia e hipóteses. Vou procurar uma solução na forma de série de potências centrada em x=0. Ou seja, suponho que exista uma série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes reais (constantes). Essa suposição é o punto de partida do método por séries: escrevemos y como soma de potências e igualamos coeficientes após substituir na equação diferencial. Também preciso da derivada termo a termo: se a série converge num certo raio, podemos derivar termo a termo e obter
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.
Aqui eu explico: a derivada termo a termo é justificada quando a série tem raio de convergência positivo — estamos fazendo uma técnica formal que, no fim, será verificada pela solução encontrada.

Passo 3

Substituindo as séries na equação. Multiplico y' por x:
x\,y'(x)=x\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n.
A série para y é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
A equação x y' = y passa a ser, como igualdade de séries,
\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 4

Igualando coeficientes de potências de x. Para uma igualdade de séries de potências válida numa vizinhança de 0 temos igualdade dos coeficientes de x^n para todo n\ge0.
  • Para n=0: no lado esquerdo não há termo em x^0 (a soma do lado esquerdo começa em n=1), então o coeficiente é 0. No lado direito o coeficiente é a_0. Logo
0 = a_0 \quad\Rightarrow\quad a_0=0.
  • Para n\ge 1: os coeficientes dão
n a_n = a_n.
Reescrevendo,
(n-1)a_n = 0.
Isto significa que, para cada n\ge1, ou n=1 ou a_n=0. Em outras palavras:
  • se n=1 a equação é 0=0, então a_1 é livre (coeficiente arbitrário);
  • se n\ge2 então a_n=0.
Assim todos os coeficientes são zero, exceto possivelmente a_1. Como já vimos a_0=0.

Passo 5

Construindo a solução obtida pela série. Com os coeficientes acima a série fica
y(x) = a_1 x.
Chamo a constante arbitrária a_1 de C. Logo a família de soluções obtida pelo método de séries é
y(x)=C x,
onde C é uma constante real. Note que C=0 dá a solução trivial y\equiv0.
Pequena observação didática: a série encontrada é um polinômio de grau 1, portanto tem raio de convergência infinito; a derivação termo a termo estava justificada e a solução é de fato analítica em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Resolução pelo método elementar (separação de variáveis). Reescrevo a equação isolando y':
y'=\frac{y}{x},\qquad x\neq0.
Trata-se de uma equação separável (ou simplesmente de uma equação linear de primeira ordem fácil). Faço separação de variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x},\qquad y\neq0,\;x\neq0.
Integro ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=\ln|x|+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
|y|=e^{C_1}|x|.
Posso incorporar o sinal em uma constante C arbitrária (real), obtendo
y=C x.
Incluo também a solução y\equiv0 (esta corresponde a C=0). Assim a solução geral encontrada pelo método elementar é a mesma: y=Cx.

Passo 7

Verificação direta e comentário sobre singularidade em x=0. Substituo a solução y=Cx na equação original para checar:
y'=C \quad\Rightarrow\quad x\,y' = xC = Cx = y,
portanto a igualdade é satisfeita para qualquer C. Observação importante: a forma padrão y'=\tfrac{y}{x} tem singular em x=0, então o teorema de existência e unicidade clássico (que exige coeficientes contínuos em torno do ponto) não garante unicidade de solução passando por x=0. De fato, todas as soluções y=Cx têm y(0)=0, logo o problema com condição inicial y(0)=0 não determina C — há infinitas soluções que passam por esse ponto. Isso explica por que o método por séries centrado em 0 ainda funcionou (encontrou a série analítica), mas a equação é singular quando vista na forma y'=\tfrac{y}{x}.

Resposta

y=Cx

Exercícios relacionados