Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador. \left(x^{2}+2 x\right) y^{\prime \prime}-2(x+1) y^{\prime}+2 y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}+2x\right)y''-2(x+1)y'+2y=0
e pede que eu a resolva por dois métodos: (1) por séries e (2) por um método elementar qualquer; depois verificar se as soluções coincidem.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais.
Os pontos x=0 e x=-2 anulam o coeficiente de y'', ou seja são pontos singulares (mas o problema permite escolher um ponto regular para séries).
Preciso apresentar a solução geral (duas constantes arbitrárias) e mostrar que as duas abordagens levam à mesma solução.
Passo 2
Vou começar por um método elementar (inspeção + redução de ordem). Primeiro tento encontrar uma solução simples por tentativa. Testo y=x+1.
Assim duas soluções linearmente independentes são y_{1}=x+1 e y_{2}=x^{2}+x+1. A solução geral é
y(x)=C_{1}(x+1)+C_{2}(x^{2}+x+1),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. (Observação: as soluções são polinomiais, então bem comportadas em qualquer ponto exceto onde a EDO é singular.)
Passo 4
Agora resolvo por séries de potências, explicando passo a passo como aplicar o método. Como x=0 e x=-2 são pontos singulares para a forma padrão, escolho expandir em série em torno de um ponto regular: x_{0}=-1 é um ponto regular porque x_{0}^{2}+2x_{0}=(-1)^{2}+2(-1)=-1\neq 0. Então a expansão em potências de z=x+1 é natural e as derivadas em x coincidem com derivadas em z. Substituo z=x+1 para simplificar.
Reescrevo a equação em z. Como x=z-1,
x^{2}+2x=(z-1)^{2}+2(z-1)=z^{2}-1.
E x+1=z. Portanto a equação torna-se
(z^{2}-1)\,y''-2z\,y'+2y=0,
onde agora y'=dy/dz, y''=d^{2}y/dz^{2}. Procuro solução da forma série de potências centrada em z=0:
Agora analiso as duas sequências (pares e ímpares):
Começando com a_{0} livre: já temos a_{2}=a_{0}. Para n=2 a recorrência dá
a_{4}=\frac{(2-1)(2-2)}{6\cdot 5}a_{2}=0,
portanto a_{4}=0. Daí para todos os índices pares superiores todos os a_{6},a_{8},\dots serão zero pois dependem de a_{4}. Assim os coeficientes pares não nulos são apenas a_{0} e a_{2}=a_{0}.
Começando com a_{1} livre: já temos a_{3}=0. Para n=3 a recorrência dá a_{5} proporcional a a_{3}=0; logo todos os coeficientes ímpares além de a_{1} são zero.
Assim a série se truncam e gera polinômios:
y(z)=a_{0}(1+z^{2})+a_{1}z.
Voltando a x com z=x+1,
y(x)=a_{0}\big(1+(x+1)^{2}\big)+a_{1}(x+1).
Posso reescrever 1+(x+1)^{2}=x^{2}+2x+2. Observando que
x^{2}+2x+2=(x^{2}+x+1)+(x+1),
vemos que o espaço gerado por \{1+(x+1)^{2},\,x+1\} é o mesmo que o gerado por \{x+1,\,x^{2}+x+1\}. Portanto a solução geral obtida por séries é equivalente àquela obtida no Passo 3:
y(x)=C_{1}(x+1)+C_{2}(x^{2}+x+1).
Passo 5
Verifico independência linear: o wronskiano das duas soluções encontradas é
isto é W(x)=x(x+2). Esse wronskiano é diferente de zero para x\neq 0,-2, o que confirma independência nas regiões onde a equação é regular. As duas soluções coincidem (geram o mesmo espaço solução) como mostrado.