Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que eu a resolva de duas maneiras: (i) por séries de potências e (ii) por algum método elementar, e que eu verifique se as soluções coincidem. Informações relevantes dadas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes polinomiais em
. O que preciso entregar: a solução geral (duas constantes arbitrárias) obtida pelos dois métodos e a verificação de que são iguais.
Passo 2
Início do método por séries de potências. Primeiro faço a hipótese clássica de que existe uma solução expressável como série em torno de
:
onde os coeficientes
são constantes a determinar. Como vou precisar de derivadas, escrevo-as também em série:
Agora substituo essas séries na equação dada.
Passo 3
Substituição cuidadosa termo a termo. A equação é
. Vou escrever cada parcela como série com potências de
alinhadas.
Para a parcela
multiplicada por
(o termo constante de
) tenho
Para o termo
tenho
Para
temos
Para
temos
Passo 4
Reindexando a primeira série para que todas as somas fiquem com a mesma potência
. Na primeira série faço
, então
e
As demais séries já estão em potências
; troco o índice
por
para uniformizar:
Somando todas as séries e agrupando pelo mesmo expoente
resulta:
Passo 5
Como uma série de potências é identicamente zero quando todos os coeficientes são zero, imponho que para todo
Simplifico o coeficiente que multiplica
:
Portanto a relação de recorrência fica
ou equivalentemente
Passo 6
Agora uso a recorrência para gerar coeficientes a partir de
e
(constantes arbitrárias, pois a equação é de segunda ordem). Avalio alguns
iniciais explicitamente para ver o padrão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observação: sempre que o fator
for zero (ou seja,
ou
) ele “zera” a contribuição, e isso faz com que muitos coeficientes seguintes se tornem nulos por indução.
Passo 7
Concluo pelo padrão acima que a série truncates: todos os coeficientes com índice par maiores que
são nulos e todos os ímpares maiores que
também são nulos. Assim a única contribuição não nula vém de
(com
) e de
(com todos os outros ímpares nulos). Portanto a série reduz-se a um polinômio:
Como
e
são constantes arbitrárias, escrevo a solução geral obtida por séries como
onde
e
.
Passo 8
Agora resolvo pelo método elementar. Primeiro observo que uma solução simples pode ser encontrada por inspeção: tento
. Calculo as derivadas
e substituo na equação original:
Logo
é de fato uma solução.
Passo 9
Com uma solução particular
conhecida, uso o método de redução de ordem para obter a segunda solução linearmente independente. Primeiro coloco a equação na forma padrão dividindo por
:
Nesta forma, o coeficiente do termo
é
. A fórmula padrão para a segunda solução, sabendo
, é
Explico rapidamente: essa fórmula vem de supor
e derivar, reduzindo a uma integral para
; aqui não preciso reprovar tudo, apenas aplico.
Passo 10
Calculo os integrais necessários. Primeiro
Então
(constante multiplicativa pode ser absorvida na constante final). Como
, a integranda fica
Integro:
Multiplico por
para obter
:
Portanto uma segunda solução independente é
, que é apenas o negativo de
.
Passo 11
Com as duas soluções independentes
e
, a solução geral pelo método elementar é
onde as constantes
são arbitrárias (troquei a ordem e os sinais para coincidir com a forma obtida pela série).
Passo 12
Verificação de coincidência: a solução obtida por séries (Passo 7) e a solução obtida por redução de ordem (Passo 11) são idênticas — ambas descrevem o espaço de soluções gerado por
. Pode-se também verificar rapidamente substituindo essa combinação linear na equação original (ou pedindo verificação a um computador algébrico), e obter-se zero, confirmando que a família é a solução geral.