Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries e também por um método elementar qualquer, e verifique se suas soluções coincidem. Note que o objetivo desses problemas não é obter a resposta (isso é fácil por computador ou manualmente), mas sim se familiarizar com o método de soluções por séries. Verifique seus resultados com auxílio de um computador.
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0
e pede que eu a resolva de duas maneiras: (i) por séries de potências e (ii) por algum método elementar, e que eu verifique se as soluções coincidem. Informações relevantes dadas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes polinomiais em x. O que preciso entregar: a solução geral (duas constantes arbitrárias) obtida pelos dois métodos e a verificação de que são iguais.

Passo 2

Início do método por séries de potências. Primeiro faço a hipótese clássica de que existe uma solução expressável como série em torno de x=0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os coeficientes a_{n} são constantes a determinar. Como vou precisar de derivadas, escrevo-as também em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1},\qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
Agora substituo essas séries na equação dada.

Passo 3

Substituição cuidadosa termo a termo. A equação é (x^2+1)y''-2x y'+2y=0. Vou escrever cada parcela como série com potências de x alinhadas.
Para a parcela y'' multiplicada por 1 (o termo constante de x^2+1) tenho
1\cdot y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
Para o termo x^2 y'' tenho
x^2\cdot y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}.
Para -2x y' temos
-2x y'=-2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.
Para 2y temos
2y=2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.

Passo 4

Reindexando a primeira série para que todas as somas fiquem com a mesma potência x^{k}. Na primeira série faço k=n-2, então n=k+2 e
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k}.
As demais séries já estão em potências x^{n}; troco o índice n por k para uniformizar:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) a_{k} x^{k},
-2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}=-2\sum_{k=0}^{\infty} k a_{k} x^{k}\quad(\text{observe que o termo }k=0\text{ é nulo}),é
2\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=2\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}.
Somando todas as séries e agrupando pelo mesmo expoente x^{k} resulta:
\sum_{k=0}^{\infty}\left[(k+2)(k+1) a_{k+2} + k(k-1) a_{k} - 2k a_{k} + 2 a_{k}\right] x^{k}=0.

Passo 5

Como uma série de potências é identicamente zero quando todos os coeficientes são zero, imponho que para todo k\ge 0
(k+2)(k+1) a_{k+2} + \bigl(k(k-1)-2k+2\bigr) a_{k} =0.
Simplifico o coeficiente que multiplica a_k:
k(k-1)-2k+2 = k^{2}-3k+2 = (k-1)(k-2).
Portanto a relação de recorrência fica
(k+2)(k+1) a_{k+2} + (k-1)(k-2) a_{k} = 0,
ou equivalentemente
a_{k+2} = -\frac{(k-1)(k-2)}{(k+2)(k+1)}\, a_{k},\qquad k=0,1,2,\dots

Passo 6

Agora uso a recorrência para gerar coeficientes a partir de a_{0} e a_{1} (constantes arbitrárias, pois a equação é de segunda ordem). Avalio alguns k iniciais explicitamente para ver o padrão:
  • Para k=0:
(2)(1)a_{2} + (-1)(-2)a_{0}=0 \quad\Rightarrow\quad 2a_{2}+2a_{0}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=-a_{0}.
  • Para k=1:
(3)(2)a_{3} + (0)(-1)a_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad 6a_{3}+0=0 \quad\Rightarrow\quad a_{3}=0.
  • Para k=2:
(4)(3)a_{4} + (1)(0)a_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 12a_{4}+0=0 \quad\Rightarrow\quad a_{4}=0.
  • Para k=3:
(5)(4)a_{5} + (2)(1)a_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 20a_{5}+2a_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{5}=0 \text{ (porque }a_{3}=0).
E assim por diante. Observação: sempre que o fator (k-1)(k-2) for zero (ou seja, k=1 ou k=2) ele “zera” a contribuição, e isso faz com que muitos coeficientes seguintes se tornem nulos por indução.

Passo 7

Concluo pelo padrão acima que a série truncates: todos os coeficientes com índice par maiores que 2 são nulos e todos os ímpares maiores que 1 também são nulos. Assim a única contribuição não nula vém de a_{0},a_{2} (com a_{2}=-a_{0}) e de a_{1} (com todos os outros ímpares nulos). Portanto a série reduz-se a um polinômio:
y(x)=a_{0}\bigl(1 - x^{2}\bigr) + a_{1} x.
Como a_{0} e a_{1} são constantes arbitrárias, escrevo a solução geral obtida por séries como
y(x)=C_{1}\bigl(1-x^{2}\bigr) + C_{2} x,
onde C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1}.

Passo 8

Agora resolvo pelo método elementar. Primeiro observo que uma solução simples pode ser encontrada por inspeção: tento y=x. Calculo as derivadas
y'=1,\qquad y''=0,
e substituo na equação original:
(x^{2}+1)\cdot 0 - 2x\cdot 1 + 2x = -2x+2x =0.
Logo y_{1}(x)=x é de fato uma solução.

Passo 9

Com uma solução particular y_{1} conhecida, uso o método de redução de ordem para obter a segunda solução linearmente independente. Primeiro coloco a equação na forma padrão dividindo por x^{2}+1:
y'' - \frac{2x}{1+x^{2}}\,y' + \frac{2}{1+x^{2}}\,y = 0.
Nesta forma, o coeficiente do termo y' é p(x)=-\dfrac{2x}{1+x^{2}}. A fórmula padrão para a segunda solução, sabendo y_{1}, é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{\exp\!\bigl(-\int p(x)\,dx\bigr)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Explico rapidamente: essa fórmula vem de supor y_{2}=v(x) y_{1} e derivar, reduzindo a uma integral para v'; aqui não preciso reprovar tudo, apenas aplico.

Passo 10

Calculo os integrais necessários. Primeiro
\int p(x)\,dx = \int -\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = -\ln(1+x^{2}) + \text{const}.
Então
\exp\!\bigl(-\int p(x)\,dx\bigr)=\exp\!\bigl(\ln(1+x^{2})\bigr)=1+x^{2}
(constante multiplicativa pode ser absorvida na constante final). Como y_{1}(x)=x, a integranda fica
\frac{1+x^{2}}{y_{1}^{2}}=\frac{1+x^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}+1.
Integro:
\int\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right)dx = \int x^{-2}dx + \int 1\,dx = -\frac{1}{x}+x + C.
Multiplico por y_{1}(x)=x para obter y_{2}:
y_{2}(x)=x\left(-\frac{1}{x}+x\right) = -1 + x^{2} = x^{2}-1.
Portanto uma segunda solução independente é y_{2}(x)=x^{2}-1, que é apenas o negativo de 1-x^{2}.

Passo 11

Com as duas soluções independentes y_{1}=x e y_{2}=x^{2}-1, a solução geral pelo método elementar é
y(x)=C_{1}\bigl(1-x^{2}\bigr) + C_{2} x,
onde as constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias (troquei a ordem e os sinais para coincidir com a forma obtida pela série).

Passo 12

Verificação de coincidência: a solução obtida por séries (Passo 7) e a solução obtida por redução de ordem (Passo 11) são idênticas — ambas descrevem o espaço de soluções gerado por \{1-x^{2},\,x\}. Pode-se também verificar rapidamente substituindo essa combinação linear na equação original (ou pedindo verificação a um computador algébrico), e obter-se zero, confirmando que a família é a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}\bigl(1-x^{2}\bigr) + C_{2}\,x

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