Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem quatro, encontrando a solução geral y(x). A equação dada é
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}+1.
Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear não-homogênea de ordem 4.
  • O termo não-homogêneo é a soma de duas funções: e^{x} e a constante 1.
  • Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular como soma de soluções particulares para e^{x} e para 1, e somar à solução geral da homogênea para obter a solução geral completa.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{r x}. Substituindo e dividindo por e^{r x} chega-se ao polinômio característico
r^{4}-2r^{3}+r^{2}=0.
Fatorando,
r^{2}(r-1)^{2}=0.
Portanto as raízes são r=0 com multiplicidade 2 e r=1 com multiplicidade 2.
Quando uma raiz r tem multiplicidade m, as soluções associadas são e^{r x}, x e^{r x}, x^{2} e^{r x},\dots,x^{m-1} e^{r x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea. Pelo princípio da superposição, escrevemos
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)},
onde y_{p}^{(1)} é particular para o termo constante 1 e y_{p}^{(2)} é particular para e^{x}.
Regra prática (método dos coeficientes a determinar): para um termo do tipo polinômio em x de grau n usa-se um polinômio de grau n; para e^{a x} usa-se e^{a x} vezes um polinômio de grau adequado; se a for raiz do polinômio característico de multiplicidade m, multiplica-se a tentativa por x^{m}. Vamos aplicar essas regras.

Passo 4

Resolver para o termo constante 1.
Sem considerar conflito com a homogênea, para o termo constante usaríamos uma constante A. Porém r=0 é raiz do característico com multiplicidade 2, o que significa que constantes e termos lineares já aparecem em y_{h}. Assim multiplicamos por x^{2}. A tentativa será
y_{p}^{(1)}=a x^{2},
com a a constante a determinar.
Calculemos as derivadas necessárias:
y_{p}^{(1)}=a x^{2},\qquad \frac{d y_{p}^{(1)}}{d x}=2a x,\qquad \frac{d^{2} y_{p}^{(1)}}{d x^{2}}=2a,\qquad \frac{d^{3} y_{p}^{(1)}}{d x^{3}}=0,\qquad \frac{d^{4} y_{p}^{(1)}}{d x^{4}}=0.
Substituindo na equação (operador L[y]=y^{(4)}-2y^{(3)}+y''):
L\bigl[y_{p}^{(1)}\bigr]=0-2\cdot 0 + 2a = 2a.
Queremos L[y_{p}^{(1)}]=1 (porque estamos resolvendo para o termo constante), logo
2a=1 \quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p}^{(1)}=\tfrac{1}{2}x^{2}.

Passo 5

Resolver para o termo e^{x}.
Sem conflito, para e^{x} tentaríamos b e^{x}. Mas r=1 é raiz do característico com multiplicidade 2, então multiplicamos por x^{2}. A tentativa será
y_{p}^{(2)}=b x^{2} e^{x},
com b a constante a determinar.
Uma forma elegante de aplicar o operador é usar o fato de que, para um operador polinomial L(D) (onde D denota derivação) vale
L(D)\bigl[e^{a x}Q(x)\bigr]=e^{a x}L(D+a)\bigl[Q(x)\bigr].
Aqui L(r)=r^{4}-2r^{3}+r^{2}=r^{2}(r-1)^{2}. Logo
L(D+1)=(D+1)^{2}D^{2}.
Aplicando sobre Q(x)=b x^{2}:
D^{2}[b x^{2}]=2b,
em seguida
(D+1)^{2}[2b]=(D+1)[(D+1)(2b)]=(D+1)[2b]=2b,
pois derivada de constante é zero. Portanto
L(D+1)[b x^{2}]=2b.
Então
L\bigl[b x^{2} e^{x}\bigr]=e^{x}\cdot 2b.
Queremos que isso seja igual a e^{x}, logo
2b=1 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{2}.
Assim
y_{p}^{(2)}=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.

Passo 6

Somando as partes particulares obtidas:
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}=\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}=\tfrac{1}{2}x^{2}\bigl(1+e^{x}\bigr).

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x}+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.
Por clareza, pode-se agrupar termos em e^{x} e sem e^{x}, mas a forma acima já é a solução geral completa.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{x}+C_{4}x e^{x}+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}

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