Resolva as seguintes equações diferenciais, pelo método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem quatro, encontrando a solução geral
. A equação dada é
Informações relevantes que temos:
- É uma equação linear não-homogênea de ordem
. - O termo não-homogêneo é a soma de duas funções:
e a constante . - Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular como soma de soluções particulares para
e para , e somar à solução geral da homogênea para obter a solução geral completa.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. Substituindo e dividindo por
chega-se ao polinômio característico
Fatorando,
Portanto as raízes são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
.
Quando uma raiz
tem multiplicidade
, as soluções associadas são
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea. Pelo princípio da superposição, escrevemos
onde
é particular para o termo constante
e
é particular para
.
Regra prática (método dos coeficientes a determinar): para um termo do tipo polinômio em
de grau
usa-se um polinômio de grau
; para
usa-se
vezes um polinômio de grau adequado; se
for raiz do polinômio característico de multiplicidade
, multiplica-se a tentativa por
. Vamos aplicar essas regras.
Passo 4
Resolver para o termo constante
.
Sem considerar conflito com a homogênea, para o termo constante usaríamos uma constante
. Porém
é raiz do característico com multiplicidade
, o que significa que constantes e termos lineares já aparecem em
. Assim multiplicamos por
. A tentativa será
com
a constante a determinar.
Calculemos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação (operador
):
Queremos
(porque estamos resolvendo para o termo constante), logo
Portanto
Passo 5
Resolver para o termo
.
Sem conflito, para
tentaríamos
. Mas
é raiz do característico com multiplicidade
, então multiplicamos por
. A tentativa será
com
a constante a determinar.
Uma forma elegante de aplicar o operador é usar o fato de que, para um operador polinomial
(onde
denota derivação) vale
Aqui
. Logo
Aplicando sobre
:
em seguida
pois derivada de constante é zero. Portanto
Então
Queremos que isso seja igual a
, logo
Assim
Passo 6
Somando as partes particulares obtidas:
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Por clareza, pode-se agrupar termos em
e sem
, mas a forma acima já é a solução geral completa.