Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
y^prime prime-y=e^-x(2 sen x+4 cos x)

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz: “Resolva a equação diferencial
y'' - y = e^-x,l(2sin x + 4cos xr)
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea.
Pra resolver vamos precisar de dois pedaços:
1) A solução geral da equação homogênea associada .
2) Uma solução particular da parte não-homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados (é só chutar uma forma parecida com o lado direito).

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea. A equação característica é
r^2 - 1 = 0 Longrightarrow r = pm1
Logo
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-x

Passo 3

Agora vamos chutar uma solução particular. Como o lado direito é
e^-x(2sin x + 4cos x),
a gente tenta
yp(x) = e^-xl(Acos x + Bsin xr),
onde yp' = e^-xl(-Acos x - Bsin xr) ;+; e^-xl(-Asin x + Bcos xr) = e^-xl[(-A+B)cos x + (-B - A)sin xr] e yp'' = -e^-xl[(-A+B)cos x + (-B - A)sin xr] + e^-xl[-(-A+B)sin x + (-B - A)cos xr] são constantes a descobrir.
  1. Derivando uma vez:
yp'' = e^-xl[(-2B)cos x + (2A)sin xr]
  1. Derivando de novo:
Se você simplificar dá

Passo 4

Agora substituímos em yp'' - yp = e^-xl[(-2B)cos x + 2Asin xr] - e^-xl(Acos x + Bsin xr) = e^-xl[(-A -2B)cos x + (2A - B)sin xr] :
-A - 2B = 4, 2A - B = 2
Isso deve igualar yp(x) = e^-xl(0cdotcos x -2sin xr) = -2,e^-xsin x . Igualando coeficientes:
Resolvendo esse sistema dá e .
Logo

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^-x ;-;2,e^-xsin x

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