Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz: “Resolva a equação diferencial
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea.
Pra resolver vamos precisar de dois pedaços:
1) A solução geral da equação homogênea associada
2) Uma solução particular
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea. A equação característica é
Logo
Passo 3
Agora vamos chutar uma solução particular. Como o lado direito é
a gente tenta
onde
e
são constantes a descobrir.
- Derivando uma vez:
- Derivando de novo:
Se você simplificar dá
Passo 4
Agora substituímos em
:
Isso deve igualar
. Igualando coeficientes:
Resolvendo esse sistema dá
e
.
Logo
Logo
Resposta
A solução geral da equação é