Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime-y=x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = x^3
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem: precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular. Para isso usaremos o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' - y = 0
Ela gera a equação característica
r^2 - 1 = 0
cuja solução é r = pm1. Logo a solução complementar é
yc = C1e^x + C2e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular yp por coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 3 em x, tentamos
yp = ax^3 + bx^2 + cx + d
Calculamos as derivadas:
yp' = 3ax^2 + 2bx + c,
yp'' = 6ax + 2b
Substituindo em y'' - y = x^3 temos
(6ax + 2b) - (ax^3 + bx^2 + cx + d) = x^3

Passo 4

Reagrupando termos em potências de x, obtemos
-a x^3 - b x^2 + (6a - c)x + (2b - d) = x^3
Igualando coeficientes de cada potência:
$$-a = 1,
\quad -b = 0,
\quad 6a - c = 0,
\quad 2b - d = 0. -a = 1, -b = 0, 6a - c = 0, 2b - d = 0íy_p = -x^3 - 6x.$$
A solução geral é a soma
a = -1

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^-x - x^3 - 6x

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