Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem: precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular. Para isso usaremos o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
Ela gera a equação característica
cuja solução é
. Logo a solução complementar é
onde
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
por coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 3 em
, tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
Passo 4
Reagrupando termos em potências de
, obtemos
Igualando coeficientes de cada potência:
$$-a = 1,
\quad -b = 0,
\quad 6a - c = 0,
\quad 6a - c = 0,
\quad 2b - d = 0.
y_p = -x^3 - 6x.$$
A solução geral é a soma