Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
Neste exercício temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear e inhomogênea dada por:
Para resolver vamos usar o método do fator integrante, que é conteúdo de equações lineares de 1ª ordem.
Passo 2
O fator integrante
é dado por
, onde
. Logo:
Multiplicando a equação original por
obtemos um lado que é a derivada de
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
fazemos integração por partes. Tomando
e
, notamos que
. Assim:
Passo 4
Substituindo o resultado na expressão para
e isolando
, obtemos a solução geral:
Resposta
y(x) = x - e{-x2/2}\int e{x2/2}dx + C e{-x2/2}