Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
y^prime+x y=x^2

Passo 1

Neste exercício temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear e inhomogênea dada por:
y' + x,y = x^2
Para resolver vamos usar o método do fator integrante, que é conteúdo de equações lineares de 1ª ordem.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por e^integral P(x)dx, onde P(x)=x. Logo:
mu(x)=e^integral x,dx=e^x^2/2
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos um lado que é a derivada de mu(x),y:
(e^x^2/2y)' = x^2 e^x^2/2

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^2/2y = integral x^2 e^x^2/2,dx + C
Para calcular integral x^2 e^x^2/2dx fazemos integração por partes. Tomando
u = x e dv = x e^x^2/2dx, notamos que dv = d(e^x^2/2). Assim:
integral x^2 e^x^2/2dx = integral x,d(e^x^2/2) = x e^x^2/2 - integral e^x^2/2dx

Passo 4

Substituindo o resultado na expressão para e^x^2/2y e isolando y, obtemos a solução geral:
y(x) = x - e^-x^2/2integral e^x^2/2dx + C e^-x^2/2

Resposta

y(x) = x - e{-x2/2}\int e{x2/2}dx + C e{-x2/2}

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