Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que y(0)=0 :
d y / d x=2 x+3 e^{2 x}+4 \cos (5 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária com condição inicial; listar o que temos e o que é pedido:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=2x+3e^{2x}+4\cos(5x).
  • A condição inicial é y(0)=0.
  • O que o enunciado pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial (ou seja, resolver a EDO e determinar a constante arbitrária).

Passo 2

Ideia básica (sem pular etapas): quando a EDO está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x), isso significa que a derivada de y é uma função conhecida de x. Para recuperar y basta integrar ambos os lados em relação a x. Formalmente:
y(x)=\int \frac{dy}{dx}\,dx=\int f(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração (porque a antiderivada é determinada até uma constante). Neste problema vamos aplicar essa regra com
f(x)=2x+3e^{2x}+4\cos(5x).
Uma observação útil: a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\big(2x+3e^{2x}+4\cos(5x)\big)\,dx=\int 2x\,dx+\int 3e^{2x}\,dx+\int 4\cos(5x)\,dx.

Passo 3

Calcular cada integral separadamente, explicando as regras usadas.
  1. Integral de 2x.
    Regra: para potências, \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui 2x=2\cdot x^{1}, então
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Cheque mental: derivada de x^{2} é 2x, ok.
  1. Integral de 3e^{2x}.
    Regra: se g(x)=e^{ax}, então \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}. Para integrar, use que \int e^{ax}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C.
    Aqui temos um fator 3 multiplicando e^{2x}, então
\int 3e^{2x}\,dx = 3\int e^{2x}\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=\frac{3}{2}e^{2x}.
Cheque mental: derivando \dfrac{3}{2}e^{2x} obtém-se \dfrac{3}{2}\cdot 2 e^{2x}=3e^{2x}, correto.
  1. Integral de 4\cos(5x).
    Regra: \dfrac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax), então \int \cos(ax)\,dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax)+C.
    Com o fator 4,
\int 4\cos(5x)\,dx = 4\int \cos(5x)\,dx = 4\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)=\frac{4}{5}\sin(5x).
Cheque mental: derivada de \dfrac{4}{5}\sin(5x) é \dfrac{4}{5}\cdot 5\cos(5x)=4\cos(5x), ok.

Passo 4

Somando as partes e incluindo a constante de integração C, obtemos a família geral de soluções:
y(x)=x^{2}+\frac{3}{2}e^{2x}+\frac{4}{5}\sin(5x)+C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0 para encontrar C.
Calcular y(0):
y(0)=0^{2}+\frac{3}{2}e^{0}+\frac{4}{5}\sin(0)+C=\frac{3}{2}\cdot 1 + 0 + C=\frac{3}{2}+C.
A condição exige y(0)=0, então
0=\frac{3}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Substituindo C na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x^{2}+\frac{3}{2}e^{2x}+\frac{4}{5}\sin(5x)-\frac{3}{2}.
Pequena checagem rápida (opcional na prova): derivando esta expressão obtém-se exatamente 2x+3e^{2x}+4\cos(5x), como esperado.

Resposta

y(x)=x^{2}+\dfrac{3}{2}e^{2x}+\dfrac{4}{5}\sin(5x)-\dfrac{3}{2}

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