Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDO), preferencialmente sem uso de métodos especiais, mas apenas com seu conhecimento sobre funções e suas derivadas. Não deixe de colocar a constante arbitrária e calculá-la para que
:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária com condição inicial; listar o que temos e o que é pedido:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - O que o enunciado pede: encontrar a função
que satisfaz a EDO e a condição inicial (ou seja, resolver a EDO e determinar a constante arbitrária).
Passo 2
Ideia básica (sem pular etapas): quando a EDO está na forma
, isso significa que a derivada de
é uma função conhecida de
. Para recuperar
basta integrar ambos os lados em relação a
. Formalmente:
onde
é a constante de integração (porque a antiderivada é determinada até uma constante). Neste problema vamos aplicar essa regra com
Uma observação útil: a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja,
Passo 3
Calcular cada integral separadamente, explicando as regras usadas.
- Integral de
.
Regra: para potências,(para ). Aqui , então
Cheque mental: derivada de
é
, ok.
- Integral de
.
Regra: se, então . Para integrar, use que .
Aqui temos um fatormultiplicando , então
Cheque mental: derivando
obtém-se
, correto.
- Integral de
.
Regra:, então .
Com o fator,
Cheque mental: derivada de
é
, ok.
Passo 4
Somando as partes e incluindo a constante de integração
, obtemos a família geral de soluções:
Agora aplicamos a condição inicial
para encontrar
.
Calcular :
Calcular
A condição exige
, então
Passo 5
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Pequena checagem rápida (opcional na prova): derivando esta expressão obtém-se exatamente
, como esperado.