Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
Passo 1
Temos a equação diferencial ordinária homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de EDOs lineares homogêneas por meio do polinômio característico, associando
a
.
Passo 2
Formamos o polinômio característico trocando cada derivada por
:
Em seguida, fatoramos para encontrar as raízes:
Passo 3
Da fatoração, temos imediatamente:
e precisamos resolver
Para achar as raízes de
, escrevemos
. As soluções são
Passo 4
Cada raiz real gera um termo
. O par de raízes complexas
produz um termo da forma
. Assim, reunindo tudo, a solução geral é
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e{-2x}+e{x}\bigl(C_{3}\cos(\sqrt3x)+C_{4}\sin(\sqrt3x)\bigr)