Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
y^(I V)+8 y^prime=0

Passo 1

Temos a equação diferencial ordinária homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^(IV) + 8y' = 0
O conteúdo é resolução de EDOs lineares homogêneas por meio do polinômio característico, associando y^(n) a r^n.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando cada derivada por r^n:
r^4 + 8r = 0
Em seguida, fatoramos para encontrar as raízes:
r(r^3 + 8)=0

Passo 3

Da fatoração, temos imediatamente:
r=0
e precisamos resolver
r^3 + 8 = 0,Longrightarrow,r^3 = -8
Para achar as raízes de r^3=-8, escrevemos -8=8e^ipi. As soluções são
r=-2(real),
r=2e^ipi/3=1+iraiz3,
r=2e^-ipi/3=1-iraiz3

Passo 4

Cada raiz real gera um termo e^rx. O par de raízes complexas 1 pm iraiz3 produz um termo da forma e^ax(Ccos bx + Dsin bx). Assim, reunindo tudo, a solução geral é
y(x)=C1e^0cdot x+C2e^-2x+e^xl(C3cos(raiz3x)+C4sin(raiz3x)r)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e{-2x}+e{x}\bigl(C_{3}\cos(\sqrt3x)+C_{4}\sin(\sqrt3x)\bigr)

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