Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias não homogêneas usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=1+t^2

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: a gente quer resolver a EDO linear de 2ª ordem não homogênea y'' + 2y' + 2y = 1 + t^2 usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, primeiro vamos achar a solução geral da parte homogênea (resolvendo a equação característica) e depois um palpite para a parte particular compatível com o termo não homogêneo.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea: considere a equação associada y'' + 2y' + 2y = 0. A equação característica é r^2 + 2r + 2 = 0. Calculando as raízes temos
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot22 = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i
Como são raízes complexas conjugadas, a solução homogênea é
yh(t) = e^-tl(C1 cos t + C2 sin tr)

Passo 3

Escolhendo o palpite para a parte particular: como o lado direito é o polinômio 1 + t^2 (grau 2) e 0 não é raiz da característica, a gente tenta um palpite polinomial de grau 2:
yp(t) = A t^2 + B t + C

Passo 4

Calculando as derivadas de yp e substituindo na equação original:
yp'(t) = 2A t + B,
yp''(t) = 2A
Substituindo em y'' + 2y' + 2y obtemos
2A + 2(2A t + B) + 2(A t^2 + B t + C) = 2A + 4A t + 2B + 2A t^2 + 2B t + 2C
Agrupando termos:
coeficiente de t^2: 2A,
coeficiente de t: 4A + 2B,
termo constante: 2A + 2B + 2C
Igualando ao lado direito 1 + 0,t + 1,t^2 dá o sistema
2A = 1,
4A + 2B = 0,
2A + 2B + 2C = 1
Resolvendo, achamos A = tfrac12, B = -1 e C = 1. Portanto
yp(t) = tfrac12 t^2 - t + 1

Passo 5

Montando a solução geral: juntando a parte homogênea e a particular, a solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-tl(C1 cos t + C2 sin tr) + tfrac12 t^2 - t + 1

Resposta

y(t) = e^{-t}\bigl(C_1 \cos t + C_2 \sin t\bigr) + \tfrac12 t^2 - t + 1

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