Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias não homogêneas usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia: a gente quer resolver a EDO linear de 2ª ordem não homogênea
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, primeiro vamos achar a solução geral da parte homogênea (resolvendo a equação característica) e depois um palpite para a parte particular compatível com o termo não homogêneo.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea: considere a equação associada
. A equação característica é
. Calculando as raízes temos
Como são raízes complexas conjugadas, a solução homogênea é
Passo 3
Escolhendo o palpite para a parte particular: como o lado direito é o polinômio
(grau 2) e 0 não é raiz da característica, a gente tenta um palpite polinomial de grau 2:
Passo 4
Calculando as derivadas de
e substituindo na equação original:
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos:
Igualando ao lado direito
dá o sistema
Resolvendo, achamos
,
e
. Portanto
Passo 5
Montando a solução geral: juntando a parte homogênea e a particular, a solução geral da EDO é
Resposta
y(t) = e^{-t}\bigl(C_1 \cos t + C_2 \sin t\bigr) + \tfrac12 t^2 - t + 1