Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias não homogêneas usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária não homogênea. Isso significa que do lado direito da equação temos uma função que não é igual a zero (
). Para resolver isso, vamos usar o Método dos Coeficientes a Determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o
:
Para isso, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos
e obtemos:
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio usando essa raiz:
Agora, resolvemos a quadrática
:
Então, temos as raízes
,
, e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
, e
são constantes que determinaremos com condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, que já está presente na solução homogênea (
), precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular para evitar duplicidade.
Geralmente, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos supor
e calcular suas derivadas:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos
:
Então, nossa solução particular é:
Passo 8
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação não homogênea:
Resposta
A solução geral da equação é: