Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias não homogêneas usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime prime-y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y''' - y'' - 4 y' + 4 y = e^2 t
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária não homogênea. Isso significa que do lado direito da equação temos uma função que não é igual a zero ( e^2 t). Para resolver isso, vamos usar o Método dos Coeficientes a Determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o e^2 t:
y''' - y'' - 4 y' + 4 y = 0
Para isso, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos y = e^rt e obtemos:
r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de r.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando r = 1:
1^3 - 1^2 - 4(1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0
Então, r = 1 é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio usando essa raiz:
r^3 - r^2 - 4r + 4 = (r - 1)(r^2 + 0r - 4)
Agora, resolvemos a quadrática r^2 - 4 = 0:
r^2 = 4 Rightarrow r = pm 2
Então, temos as raízes r = 1, r = 2, e r = -2.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-2t
Onde C1, C2, e C3 são constantes que determinaremos com condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
y''' - y'' - 4 y' + 4 y = e^2 t
Como o lado direito é e^2 t, que já está presente na solução homogênea ( C2 e^2t), precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular para evitar duplicidade.
Geralmente, tentamos uma solução da forma yp(t) = A t e^2 t, onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos supor yp(t) = A t e^2 t e calcular suas derivadas:
yp' = A e^2t + 2A t e^2t
yp'' = 2A e^2t + 4A t e^2t
yp''' = 4A e^2t + 8A t e^2t
Agora, substituímos yp e suas derivadas na equação original:
(4A e^2t + 8A t e^2t) - (2A e^2t + 4A t e^2t) - 4(A e^2t + 2A t e^2t) + 4(A t e^2t) = e^2t
Simplificando:
(4A e^2t + 8A t e^2t) - 2A e^2t - 4A t e^2t - 4A e^2t - 8A t e^2t + 4A t e^2t = e^2t
(4A - 2A - 4A) e^2t + (8A - 4A - 8A + 4A) t e^2t = e^2t
(-2A) e^2t + 0 cdot t e^2t = e^2t

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos e^2t:
-2A = 1 Rightarrow A = -12
Então, nossa solução particular é:
yp(t) = -12 t e^2 t

Passo 8

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação não homogênea:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^-2t - 12 t e^2 t

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2 t + C3 e^-2 t - 12 t e^2 t

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