Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária homogênea de quarta ordem:
A gente vai precisar entender sobre equações diferenciais com coeficientes constantes e como encontrar a solução geral usando equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y^{(IV)} $ por $ r^4 $, $ y’’ $ por $ r^2 $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica. É uma equação quadrática em termos de $ r^2 $. Podemos fazer uma substituição para facilitar: seja $ s = r^2 $. Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para $ s $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla: $ s = -2 $.
Passo 5
Lembrando que $ s = r^2 $, substituímos de volta:
Resolvendo para $ r $, temos:
Então, as raízes são duplas: $ r = i\sqrt{2} $ e $ r = -i\sqrt{2} $.
Passo 6
Com raízes complexas e duplas, a solução geral da equação é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: