Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
y^(I V)+4 y^prime prime+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária homogênea de quarta ordem:
y^(IV) + 4 y'' + 4 y = 0
A gente vai precisar entender sobre equações diferenciais com coeficientes constantes e como encontrar a solução geral usando equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos $ y^{(IV)} $ por $ r^4 $, $ y’’ $ por $ r^2 $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
y^(IV)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica. É uma equação quadrática em termos de $ r^2 $. Podemos fazer uma substituição para facilitar: seja $ s = r^2 $. Então, a equação fica:
r^2

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para $ s $. Usando a fórmula de Bhaskara:
s
Então, temos uma raiz dupla: $ s = -2 $.

Passo 5

Lembrando que $ s = r^2 $, substituímos de volta:
s = r^2
Resolvendo para $ r $, temos:
r^2 = -2
Então, as raízes são duplas: $ r = i\sqrt{2} $ e $ r = -i\sqrt{2} $.

Passo 6

Com raízes complexas e duplas, a solução geral da equação é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x) cos(raiz2,x) + (C3 + C4 x) sin(raiz2,x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) cos(raiz2,x) + (C3 + C4 x) sin(raiz2,x)

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