(4,0) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
(y cos x+2 x e^y) d x+(sen x+x^2 e^y+2) d y=0 y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(ycos x + 2x e^yr),dx + l(sin x + x^2e^y + 2r),dy = 0
com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método de equações exatas: basta identificar
M(x,y)=ycos x + 2x e^y, N(x,y)=sin x + x^2e^y + 2,
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = cos x + 2x e^y, partial Npartial x = cos x + 2x e^y
Como elas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Procurar uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M e psiy=N. Integramos
psix=M em relação a x:
psi(x,y) = integrall(ycos x + 2x e^yr),dx = ysin x + x^2e^y + H(y),
onde H(y) é função a determinar.

Passo 4

Determinar H(y) impondo psiy=N. Diferenciando em y:
psiy = sin x + x^2e^y + H'(y)
e igualando a N:
sin x + x^2e^y + H'(y) = sin x + x^2e^y + 2 Longrightarrow H'(y)=2
Integrando, H(y)=2y + constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
psi(x,y) = ysin x + x^2e^y + 2y = C

Passo 6

Usar a condição inicial y(1)=0. Em x=1, y=0:
0cdotsin1 + 1^2e^0 + 2cdot0 = 1 Longrightarrow C=1

Resposta

ysin x + x^2e^y + 2y = 1

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