Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
- (1,5)
(a) (0,3) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
(b) (1,0) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) (0,2) Se em
temos
, forneça a solução particular para esta situação.
(b) (1,0) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) (0,2) Se em
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (a) a classificação em tipo, ordem e linearidade, (b) a solução geral e (c) a solução particular que satisfaz
. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem linear não homogênea e vamos usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Para classificar a equação, note que:
- É uma equação diferencial ordinária (EDO), pois envolve derivada em relação a uma única variável
. - A ordem é 1, porque só aparece
. - É linear em
, porque aparece e na 1ª potência e sem produtos entre si. - É não homogênea, pois o termo do lado direito
não é zero.
Passo 3
Para achar a solução geral de
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
, obtemos
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Isolando
, vem a solução geral
Passo 5
Para ajustar a condição
, substituímos
:
logo
Portanto, a solução particular é
Resposta
(a) EDO ordinária, ordem
, linear não homogênea.
(b) Solução geral:
(b) Solução geral:
(c) Com
, a solução particular é