Dada a seguinte Equação Diferencial, responda os itens citados abaixo:
  1. (1,5)
y^prime+3 t^2 y=e^-t^3+t
(a) (0,3) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
(b) (1,0) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) (0,2) Se em x=2 temos y=1, forneça a solução particular para esta situação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + 3,t^2,y = e^-t^3+t
e pede (a) a classificação em tipo, ordem e linearidade, (b) a solução geral e (c) a solução particular que satisfaz y(2)=1. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem linear não homogênea e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Para classificar a equação, note que:
  • É uma equação diferencial ordinária (EDO), pois envolve derivada em relação a uma única variável t.
  • A ordem é 1, porque só aparece y'.
  • É linear em y, porque aparece y e y' na 1ª potência e sem produtos entre si.
  • É não homogênea, pois o termo do lado direito e^-t^3+t não é zero.

Passo 3

Para achar a solução geral de
y' + 3,t^2,y = e^-t^3+t,
calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 3,t^2,dtr) = expl(t^3r)
Multiplicando a equação por mu(t), obtemos
e^t^3,y' + 3,t^2,e^t^3,y = e^t^3,e^-t^3+t Longrightarrow ddtl(e^t^3,yr) = e^t

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^t^3,y = integral e^t,dt = e^t + C
Isolando y, vem a solução geral
y(t) = e^-t^3l(e^t + Cr) = e^-t^3+t + C,e^-t^3

Passo 5

Para ajustar a condição y(2)=1, substituímos t=2:
1 = y(2) = e^-8+2 + C,e^-8 = e^-6 + C,e^-8,
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C,e^-8 = 1 - e^-6 Longrightarrow C = e^8l(1 - e^-6r) = e^8 - e^2
Portanto, a solução particular é
y(t) = e^-t^3+t + l(e^8-e^2r),e^-t^3

Resposta

(a) EDO ordinária, ordem 1, linear não homogênea.
(b) Solução geral:
y(t) = e^-t^3+t + C,e^-t^3
(c) Com y(2)=1, a solução particular é
y(t) = e^-t^3+t + l(e^8 - e^2r),e^-t^3

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