(4,0) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
y^prime+(1+2 x^-1) y=x^3 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + l(1 + 2x^-1r)y = x^3e^-x
O conteúdo necessário é o método do fator integrante para equações da forma
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Colocamos em forma padrão identificando
P(x) = 1 + 2x, Q(x) = x^3e^-x
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral l(1 + 2x^-1r),dxr) = expl(x + 2ln|x|r) = e^xx^2

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^xx^2y' + e^xx^2l(1+2xr)y = e^xx^2cdot x^3e^-x ;Longrightarrow; ddxl(e^xx^2yr) = x^5

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^xx^2yr),dx = integral x^5,dx Longrightarrow e^xx^2y = x^66 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y e simplificamos:
y = e^-xx^-2l(x^66 + Cr) = x^46e^-x + C,x^-2e^-x

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = x^46,e^-x + C,x^-2,e^-x

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