Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+y=4 t+10 sen t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' + y = 4t + 10,sin t
Aqui, vamos precisar entender como encontrar soluções particulares para os termos não homogêneos da equação e combinar isso com a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + y = 0
Essa é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação das funções seno e cosseno:
yh(t) = C1,cos t + C2,sin t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Vamos separar a solução particular em duas partes, correspondentes aos termos $ 4t $ e $ 10,\sin t $:
y'' + y = 4t + 10,sin t

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar $ y_{p1}(t) $ para o termo $ 4t $.
Assumimos uma solução particular do tipo polinomial de primeiro grau:
yp1(t)
Derivando:
4t
yp1(t) = At + B
Substituindo na equação diferencial:
yp1'(t) = A
Comparando os coeficientes:
  • $ A = 4 $
  • $ B = 0 $
Então,
yp1''(t) = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ y_{p2}(t) $ para o termo $ 10,\sin t $.
Como $ \sin t $ já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ t $ para encontrar uma solução particular diferente. Assumimos:
yp2(t)
Derivando:
10,sin t
sin t
Substituindo na equação diferencial:
t
Simplificando:
yp2(t) = t(A,cos t + B,sin t)
Comparando os coeficientes:
  • Para $ \sin t $: $ -2A = 10 $ ⇒ $ A = -5 $
  • Para $ \cos t $: $ 2B = 0 $ ⇒ $ B = 0 $
Então,
yp2'(t) = A,cos t + B,sin t + t(-A,sin t + B,cos t)

Passo 6

Agora, combinamos as soluções particulares encontradas:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 4t - 5t,cos t

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1,cos t + C2,sin t + 4t - 5t,cos t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1,cos t + C2,sin t + 4t - 5t,cos t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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