Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender como encontrar soluções particulares para os termos não homogêneos da equação e combinar isso com a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é uma combinação das funções seno e cosseno:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
Vamos separar a solução particular em duas partes, correspondentes aos termos $ 4t $ e $ 10,\sin t $:
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar $ y_{p1}(t) $ para o termo $ 4t $.
Assumimos uma solução particular do tipo polinomial de primeiro grau:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
- $ A = 4 $
- $ B = 0 $
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ y_{p2}(t) $ para o termo $ 10,\sin t $.
Como $ \sin t $ já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ t $ para encontrar uma solução particular diferente. Assumimos:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
- Para $ \sin t $: $ -2A = 10 $ ⇒ $ A = -5 $
- Para $ \cos t $: $ 2B = 0 $ ⇒ $ B = 0 $
Então,
Passo 6
Agora, combinamos as soluções particulares encontradas:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.