Sabendo que
encontre a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Equação Diferencial Linear Não Homogênea e a técnica de Parâmetros Variáveis para encontrar a solução geral. Precisaremos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois adicionar a solução particular usando a fórmula que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, temos duas raízes iguais:
Passo 3
Com as raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p $ da equação não homogênea:
Usaremos a fórmula de parâmetros variáveis que você forneceu:
Onde:
- $ y_1 $ e $ y_2 $ são as soluções da equação homogênea.
- $ W(y_1, y_2) $ é o Wronskiano dessas soluções.
- $ g(t) = \frac{e^{t}}{1 + t^{2}} $ é o termo não homogêneo.
Passo 5
Primeiro, identificamos $ y_1 $ e $ y_2 $ a partir da solução homogênea:
Passo 6
Calculamos o Wronskiano $ W(y_1, y_2) $:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula de $ y_p $:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo as integrais:
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas nas constantes gerais.
Passo 9
Substituindo de volta:
Ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.