Sabendo que yp=-y1 integral y2 g(t)W(y1, y2) d t+y2 integral y1 g(t)W(y1, y2) d t encontre a solução geral das EDOs:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t1+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = e^t1 + t^2
O conteúdo que vamos usar aqui é a Equação Diferencial Linear Não Homogênea e a técnica de Parâmetros Variáveis para encontrar a solução geral. Precisaremos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois adicionar a solução particular usando a fórmula que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
(r - 1)^2 = 0
Então, temos duas raízes iguais:
r = 1

Passo 3

Com as raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 t)e^t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p $ da equação não homogênea:
yp
Usaremos a fórmula de parâmetros variáveis que você forneceu:
y'' - 2y' + y = e^t1 + t^2
Onde:
  • $ y_1 $ e $ y_2 $ são as soluções da equação homogênea.
  • $ W(y_1, y_2) $ é o Wronskiano dessas soluções.
  • $ g(t) = \frac{e^{t}}{1 + t^{2}} $ é o termo não homogêneo.

Passo 5

Primeiro, identificamos $ y_1 $ e $ y_2 $ a partir da solução homogênea:
y1
y2

Passo 6

Calculamos o Wronskiano $ W(y_1, y_2) $:
W(y1, y2)

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula de $ y_p $:
yp
Simplificando:
yp = -e^t integral te^t cdot e^t1 + t^2e^2t dt + te^t integral e^t cdot e^t1 + t^2e^2t dt

Passo 8

Resolvendo as integrais:
integral t1 + t^2 dt = 12 ln(1 + t^2) + C
integral 11 + t^2 dt = tan^-1(t) + C
Desconsideramos as constantes de integração pois elas serão absorvidas nas constantes gerais.

Passo 9

Substituindo de volta:
yp = -e^t cdot 12 ln(1 + t^2) + te^t cdot tan^-1(t)
Ou seja:
yp = e^t ( te^t tan^-1(t) - 12 ln(1 + t^2) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (C1 + C2 t)e^t + e^t ( tan^-1(t) cdot t - 12 ln(1 + t^2) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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