Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
x y^prime+3 x+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
x,dydx + y + 3x = 0,
que é uma equação linear em y(x). Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dydx+P(x),y=Q(x). Dividindo tudo por x (supondo xneq0) obtemos
dydx + 1x,y = -3
Aqui P(x)=tfrac1x e Q(x)=-3.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral tfrac1x,dxr) =exp(ln|x|)=x
Multiplicando a equação original por mu(x) temos
xdydx + y = -3x,
e o lado esquerdo é exatamente ddx(x,y). Logo
ddx(x,y) = -3x

Passo 4

Integramos em relação a x:
x,y = integral -3x,dx = -tfrac32,x^2 + C,
onde C é a constante de integração. Assim,
y(x) = -32,x + Cx

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = -32,x + Cx, CinR,;xneq0

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