Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^(4)+5 y^prime prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) + 5,y^primeprimeprime = 0
O conteúdo envolve montar a equação característica e usar as raízes (e suas multiplicidades) para escrever a solução geral.

Passo 2

Proponho a solução do tipo y=e^r x. Então
y^(4) = r^4 e^r x, y^primeprimeprime = r^3 e^r x
Substituindo em
y^(4) + 5,y^primeprimeprime = 0
vem
r^4 e^r x + 5,r^3 e^r x = 0
Como e^r xneq0, a equação característica é
r^4 + 5r^3 = 0

Passo 3

Fatando r^3 da equação característica:
r^3,(r+5)=0
Portanto as raízes são
r=0(mu<iplicidade 3), r=-5(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Para cada raiz real r de multiplicidade m a EDO fornece m soluções independentes do tipo x^k e^r x com k=0,dots,m-1.
  • Para r=0 (multiplicidade 3) as soluções são
    ,e^0x=1,;x,;x^2.
  • Para r=-5 (multiplicidade 1) a solução é
    ,e^-5x.
    Logo a solução geral é
y(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,e^-5x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,e^-5x

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