Calcule as derivadas direcionais de f nas direções indicadas:
f(x, y)=e^x^2-y^2 em u=(-1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=e^x^2-y^2
na direção do vetor unitário
u=l(-1raiz2,,1raiz2r)
Vamos usar que a derivada direcional de f em direção a u é
Duf(x,y)=nabla f(x,y)cdotu

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=e^x^2-y^2,
temos
partial fpartial x =2x,e^x^2-y^2, partial fpartial y =-2y,e^x^2-y^2

Passo 3

Formar o gradiente e calcular o produto escalar com u:
nabla f(x,y) =l(2x,e^x^2-y^2,,-2y,e^x^2-y^2r),
Duf(x,y) =nabla f(x,y)cdotu =2x,e^x^2-y^2l(-1raiz2r) +(-2y,e^x^2-y^2)l(1raiz2r)

Passo 4

Fatorando e^x^2-y^2 e tfrac1raiz2:
Duf(x,y) =e^x^2-y^2raiz2l(-2x-2yr) =-raiz2,(x+y),e^x^2-y^2

Resposta

Duf(x,y)=-raiz2,(x+y),e^x^2-y^2

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