(2,0 pontos) Se a função f na equação \frac{d y}{d x}=f(x, y) puder ser expressada como uma função só de v=y / x, entāo a equaçāo é dita homogênea ( em particular, f(v)=f\left(1, \frac{y}{x}\right) ). Tais equaçōes sempre podem ser transformadas em equaçōes separáveis por mudança de variável dependente. Dada a equaçāo x d x+3(y-2 x) d y=0, transforme-a em uma equação separável e encontre a sua solução
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (na forma de diferencial total)
x\,dx+3(y-2x)\,dy=0
e pede duas coisas: transformar essa equação em uma equação separável e encontrar a solução (a solução geral).
Informações relevantes do enunciado: a equação relaciona x, y, dx e dy; podemos manipular para obter a forma dy/dx=\cdots e tentar uma mudança de variável dependente do tipo v=\dfrac{y}{x} (já que o enunciado comentou sobre a substituição por v=y/x).
A partir daqui vou efetuar a transformação passo a passo e integrar, explicando cada operação com detalhes para você reproduzir na prova.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação na forma dy/dx=\cdots. Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0) obtemos
O lado direito integra para \ln|x|+C. Portanto a igualdade integral dá
-\frac{1}{2}\ln\big|u^2-a^2\big| + \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| = \ln|x| + C.
Passo 8
Retornando às variáveis originais: u=v-1, v=\dfrac{y}{x} e a=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Substituindo temos a solução implícita
-\frac{1}{2}\ln\Big|\big(v-1\big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{v-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\,v-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.
Você pode simplificar a constante e combinar os logaritmos se quiser obter uma forma mais compacta; mas esta expressão já é a solução geral implícita em termos de v. Agora volte v=\dfrac{y}{x} para obter a solução em x,y:
-\frac{1}{2}\ln\Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{\frac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\,\frac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.
Passo 9
Opcionalmente, se preferir uma forma exponenciada e compacta (juntando constantes), podemos escrever
\bigg|\frac{\dfrac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\dfrac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\bigg|^{\!1/\sqrt{\tfrac{2}{3}}} \Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big|^{-1} = C' x^{2},
onde C' é constante arbitrária diferente (resultado de exp(2C)). Essa é outra maneira válida de apresentar a solução implícita.
Resposta
-\frac{1}{2}\ln\Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{\frac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\frac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.