(2,0 pontos) Se a função f na equação \frac{d y}{d x}=f(x, y) puder ser expressada como uma função só de v=y / x, entāo a equaçāo é dita homogênea ( em particular, f(v)=f\left(1, \frac{y}{x}\right) ). Tais equaçōes sempre podem ser transformadas em equaçōes separáveis por mudança de variável dependente. Dada a equaçāo x d x+3(y-2 x) d y=0, transforme-a em uma equação separável e encontre a sua solução

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (na forma de diferencial total)
x\,dx+3(y-2x)\,dy=0
e pede duas coisas: transformar essa equação em uma equação separável e encontrar a solução (a solução geral).
Informações relevantes do enunciado: a equação relaciona x, y, dx e dy; podemos manipular para obter a forma dy/dx=\cdots e tentar uma mudança de variável dependente do tipo v=\dfrac{y}{x} (já que o enunciado comentou sobre a substituição por v=y/x).
A partir daqui vou efetuar a transformação passo a passo e integrar, explicando cada operação com detalhes para você reproduzir na prova.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação na forma dy/dx=\cdots. Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0) obtemos
x + 3(y-2x)\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
3(y-2x)\frac{dy}{dx}=-x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{3(y-2x)}.
Expliquei: aqui só reescrevi a equação diferencial e isolei a derivada para ficar explícita.

Passo 3

Agora aplicamos a mudança de variável sugerida: defina
v=\frac{y}{x}.
Vou explicar como usar isso na derivada: como y=vx (é a mesma relação escrita de outra forma), derivando em relação a x pelo produto temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Isto vem da regra do produto: \frac{d}{dx}(v(x)\cdot x)=v'(x)\cdot x + v(x)\cdot 1, e escrevemos v'=dv/dx.

Passo 4

Substituímos \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} e y=vx na expressão obtida em

Passo 5

v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{x}{3\big(x(v-2)\big)} = -\frac{1}{3(v-2)}.
Agora isolamos x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3(v-2)} - v.
Colocando o lado direito sobre um único denominador:
-\frac{1}{3(v-2)} - v = \frac{-1 - 3v(v-2)}{3(v-2)} = \frac{-3v^2 +6v -1}{3(v-2)}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{-3v^2 +6v -1}{3(v-2)}.

Passo 6

Agora separamos variáveis: coloque todos os termos em v do lado esquerdo e x do lado direito. Fazendo as manipulações algébricas:
\frac{3(v-2)}{-3v^2+6v-1}\,dv=\frac{dx}{x}.
Podemos simplificar o fator 3 no numerador e denominador: note que -3v^2+6v-1 = -\big(3v^2-6v+1\big), então
\frac{3(v-2)}{-3v^2+6v-1} = -\frac{3(v-2)}{3v^2-6v+1} = -\frac{v-2}{v^2-2v+\tfrac{1}{3}}.
Logo a equação separada fica
-\frac{v-2}{v^2-2v+\tfrac{1}{3}}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 7

Vamos integrar os dois lados. Antes, simplifico a integral do lado esquerdo escrevendo v^2-2v+\tfrac{1}{3} completando o quadrado. Seja u=v-1. Então
v^2-2v+\tfrac{1}{3}=(v-1)^2-\tfrac{2}{3}=u^2-a^2,
onde \displaystyle a=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Também escrevo o numerador em função de u:
-(v-2)=-( (v-1)-1 )=-(u-1)=-u+1.
Portanto a integral do lado esquerdo é
\int -\frac{v-2}{v^2-2v+\tfrac{1}{3}}\,dv = \int \frac{-u+1}{u^2-a^2}\,du,
pois dv=du.
Agora separamos a fração em duas integrais:
\int \frac{-u+1}{u^2-a^2}\,du = -\int \frac{u}{u^2-a^2}\,du + \int \frac{1}{u^2-a^2}\,du.
As primitivas conhecidas são:
\int \frac{u}{u^2-a^2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u^2-a^2| + C,
e
\int \frac{1}{u^2-a^2}\,du = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C,
para a>0. Aplicando essas fórmulas obtemos a primitiva completa do lado esquerdo:
-\frac{1}{2}\ln|u^2-a^2| + \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|.
O lado direito integra para \ln|x|+C. Portanto a igualdade integral dá
-\frac{1}{2}\ln\big|u^2-a^2\big| + \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| = \ln|x| + C.

Passo 8

Retornando às variáveis originais: u=v-1, v=\dfrac{y}{x} e a=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. Substituindo temos a solução implícita
-\frac{1}{2}\ln\Big|\big(v-1\big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{v-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\,v-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.
Você pode simplificar a constante e combinar os logaritmos se quiser obter uma forma mais compacta; mas esta expressão já é a solução geral implícita em termos de v. Agora volte v=\dfrac{y}{x} para obter a solução em x,y:
-\frac{1}{2}\ln\Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{\frac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\,\frac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.

Passo 9

Opcionalmente, se preferir uma forma exponenciada e compacta (juntando constantes), podemos escrever
\bigg|\frac{\dfrac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\dfrac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\bigg|^{\!1/\sqrt{\tfrac{2}{3}}} \Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big|^{-1} = C' x^{2},
onde C' é constante arbitrária diferente (resultado de exp(2C)). Essa é outra maneira válida de apresentar a solução implícita.

Resposta

-\frac{1}{2}\ln\Big|\Big(\frac{y}{x}-1\Big)^2-\tfrac{2}{3}\Big| +\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\ln\left|\frac{\frac{y}{x}-1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}}{\frac{y}{x}-1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}}\right| = \ln|x| + C.

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