Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime}=e^{2 x}+\left(1+2 e^{x}\right) y+y^{2}, y_{1}=-e^{x}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Riccati
y' = e^{2x} + \bigl(1+2e^x\bigr)\,y + y^2
e informa uma solução particular \,y_1 = -e^x.
Para resolver, vamos usar a substituição clássica para Riccati
y = y_1 + \frac{1}{u},
que transforma em uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 2

Definindo
y = y_1 + \frac{1}{u},
temos
y' = y_1' - \frac{u'}{u^2}.
Substituindo na equação original,
y_1' - \frac{u'}{u^2} = e^{2x} + \bigl(1+2e^x\bigr)\Bigl(y_1 + \tfrac1u\Bigr) + \Bigl(y_1 + \tfrac1u\Bigr)^{2}.
Porém y_1 satisfaz
y_1' = e^{2x} + \bigl(1+2e^x\bigr)\,y_1 + y_1^2,
logo, ao subtrair esses termos, sobra
-\frac{u'}{u^2} = \frac{1+2e^x+2y_1}{u} + \frac{1}{u^2}.
Multiplicando por u^2,
-\,u' = \bigl(1+2e^x+2y_1\bigr)\,u + 1.
Como y_1=-e^x, nota-se que
1 + 2e^x + 2y_1 = 1 + 2e^x - 2e^x = 1,
portanto
-\,u' = u + 1 \quad\Longrightarrow\quad u' + u = -1.

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear
u' + u = -1.
O fator integrante é \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x. Multiplicando por e^x obtém-se
\bigl(u\,e^x\bigr)' = -\,e^x.
Integrando,
u\,e^x = -\,e^x + C \quad\Longrightarrow\quad u = -1 + C\,e^{-x},
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando à substituição y = y_1 + 1/u, vem
y(x) = -\,e^x + \frac{1}{-1 + C\,e^{-x}}.
Esta é a solução geral da equação de Riccati dada.

Resposta

\boxed{y(x) = -e^x + \frac{1}{-1 + C\,e^{-x}},}
com C constante arbitrária.

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