Resolva as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Riccati
e informa uma solução particular
.
Para resolver, vamos usar a substituição clássica para Riccati
Para resolver, vamos usar a substituição clássica para Riccati
que transforma em uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 2
Definindo
temos
Substituindo na equação original,
Porém
satisfaz
logo, ao subtrair esses termos, sobra
Multiplicando por
,
Como
, nota-se que
portanto
Passo 3
Agora resolvemos a equação linear
O fator integrante é
. Multiplicando por
obtém-se
Integrando,
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Voltando à substituição
, vem
Esta é a solução geral da equação de Riccati dada.
Resposta
com
constante arbitrária.