Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a Regra da Substituição. Aqui a ideia é escolher uma substituição que simplifique o argumento do cosseno, ou seja, algo relacionado a x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original,
\int x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int \cos(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos em relação a u:
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Logo
\frac{1}{2}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\,\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u = x^{2}, a antiderivada é
\frac{1}{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

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