Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (sem condição inicial fornecida):
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (e, caso haja uma condição inicial, determinar a constante de integração — aqui não foi dada nenhuma).
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - Aparece a derivada primeira
. - Temos um termo constante
e o termo do lado direito.
Passo 2
Isolar a derivada para ver a equação numa forma simples. A equação dada é
Somando
em ambos os lados obtemos
Explicação didática: aqui apenas reorganizamos a igualdade para escrever a derivada isolada. Isso facilita porque agora podemos interpretar
como a taxa de variação de
em função de
, e igualá-la a uma função explícita de
.
Passo 3
Interpretar e escolher o método: com
uma função de
só, trata-se de uma equação diferencial do tipo \emph{integrar diretamente} (a forma
). O método é integrar ambos os lados em relação a
.
Regra usada (mini-aula): se
então integrando em
obtemos
onde
é a constante de integração. Aqui
.
Passo 4
Calcular as primitivas termo a termo. Temos
Usamos duas regras básicas de integração:
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de uma constante
é , porque .
Aplicando:
Portanto
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Interpretação da constante
(mini-aula): ao integrar uma derivada surge uma constante porque derivadas “apagam” constantes. Em problemas com condição inicial (por exemplo, se fosse dado
), substituiríamos
e
na expressão geral para resolver
.
Exemplo prático: se fosse dado
, então
logo a solução particular seria
.
Passo 6
Verificação rápida (checar que a solução está correta): derivando a solução geral encontrada,
Substituindo na equação original
temos
o que é verdadeiro. Logo a solução está correta.