Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial
y^{\prime}-74=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (sem condição inicial fornecida):
y'(x)-74=e^{x}.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (e, caso haja uma condição inicial, determinar a constante de integração — aqui não foi dada nenhuma).
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Aparece a derivada primeira \,y'(x).
  • Temos um termo constante -74 e o termo e^{x} do lado direito.

Passo 2

Isolar a derivada para ver a equação numa forma simples. A equação dada é
y'(x)-74=e^{x}.
Somando 74 em ambos os lados obtemos
y'(x)=e^{x}+74.
Explicação didática: aqui apenas reorganizamos a igualdade para escrever a derivada isolada. Isso facilita porque agora podemos interpretar \,y'(x) como a taxa de variação de y em função de x, e igualá-la a uma função explícita de x.

Passo 3

Interpretar e escolher o método: com \,y'(x)= uma função de x só, trata-se de uma equação diferencial do tipo \emph{integrar diretamente} (a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)). O método é integrar ambos os lados em relação a x.
Regra usada (mini-aula): se
\frac{dy}{dx}=g(x),
então integrando em x obtemos
y(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Aqui g(x)=e^{x}+74.

Passo 4

Calcular as primitivas termo a termo. Temos
y(x)=\int\bigl(e^{x}+74\bigr)\,dx + C.
Usamos duas regras básicas de integração:
  • A primitiva de \,e^{x} é \,e^{x}, porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • A primitiva de uma constante a é a x, porque \dfrac{d}{dx}(a x)=a.
Aplicando:
\int e^{x}\,dx = e^{x},\qquad \int 74\,dx = 74x.
Portanto
y(x)=e^{x}+74x+C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Interpretação da constante C (mini-aula): ao integrar uma derivada surge uma constante porque derivadas “apagam” constantes. Em problemas com condição inicial (por exemplo, se fosse dado \,y(x_0)=y_0), substituiríamos x=x_0 e y=y_0 na expressão geral para resolver C.
Exemplo prático: se fosse dado \,y(0)=5, então
5 = e^{0}+74\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad 5 = 1 + 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=4,
logo a solução particular seria \,y(x)=e^{x}+74x+4.

Passo 6

Verificação rápida (checar que a solução está correta): derivando a solução geral encontrada,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+74x+C\bigr) = e^{x}+74.
Substituindo na equação original \,y'(x)-74=e^{x} temos
(e^{x}+74)-74 = e^{x},
o que é verdadeiro. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{x}+74x+C

Exercícios relacionados