Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
x^{2} y^{\prime}-x^{2}-3 x y-y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y' - x^{2} - 3xy - y^{2} = 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação envolve a função y(x) e sua derivada y'(x).
  • É pedido encontrar a solução geral y(x) (constante de integração arbitrária).
  • Observação prática: x=0 não pode ser usado na divisão por x, então a solução será válida para x\neq 0.

Passo 2

Colocar a equação em uma forma mais explícita para y'. Basta isolar y':
x^{2}y' = x^{2} + 3xy + y^{2}.
Dividindo por x^{2} (lembrando que isso exige x\neq 0):
y' = 1 + \frac{3}{x}y + \frac{y^{2}}{x^{2}}.
Repare que o lado direito depende das combinações \dfrac{y}{x} e constantes — isto sugere a substituição clássica u=\dfrac{y}{x}, porque então o membro direito será função apenas de u. Essa é uma técnica usual: quando y' pode ser escrito como função de y/x, usar u=y/x transforma em equação separável.

Passo 3

Fazer a substituição u(x)=\dfrac{y(x)}{x}. Então temos
y = x u
e, pela regra do produto, a derivada é
y' = u + x u'.
Agora substitui-se y e y' na equação original reescrita.

Passo 4

Substituindo em
x^{2}y' = x^{2} + 3xy + y^{2},
obtemos
x^{2}(u + x u') = x^{2} + 3x(xu) + (xu)^{2}.
Desenvolvendo os termos:
x^{2}u + x^{3}u' = x^{2} + 3x^{2}u + x^{2}u^{2}.
Dividindo tudo por x^{2} (novamente x\neq 0):
u + x u' = 1 + 3u + u^{2}.
Reorganizando para isolar x u':
x u' = 1 + 3u + u^{2} - u = 1 + 2u + u^{2}.
Reconhece-se no lado direito um quadrado:
x u' = (u+1)^{2}.

Passo 5

A equação obtida é separável. Escrevemos em forma separável:
\frac{du}{(u+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Breve explicação da ideia: uma equação separável é aquela que pode ser escrita como uma função de u vezes du igual a uma função de x vezes dx. Então integramos cada lado em relação à sua variável.

Passo 6

Integrar ambos os lados:
\int \frac{du}{(u+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x}.
Calcular cada integral. No lado esquerdo, use a primitiva de (u+1)^{-2}:
\int (u+1)^{-2}\,du = -\frac{1}{u+1} + C_{1}.
No lado direito:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Juntando e absorvendo constantes (pode-se fazer C=C_{2}-C_{1} ou outra combinação), obtemos
-\frac{1}{u+1} = \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Resolver para u. Primeiro inverter o sinal e isolar 1/(u+1):
\frac{1}{u+1} = -\ln|x| + C_{1},
onde redefinimos a constante para C_{1}. Agora inverter para obter u+1:
u+1 = \frac{1}{C_{1} - \ln|x|}.
Logo
u = -1 + \frac{1}{C_{1} - \ln|x|}.
Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, voltamos para y:
\frac{y}{x} = -1 + \frac{1}{C_{1} - \ln|x|}.
Multiplicando por x:
y(x) = x\left(-1 + \frac{1}{C_{1} - \ln|x|}\right).
Condições de validade: x\neq 0 e o denominador C_{1}-\ln|x|\neq 0 (pois apareceu divisão por esse termo). A constante C_{1} é arbitrária real.

Passo 8

Resumo final do resultado em forma limpa: a solução geral da equação dada é
y(x) = x\left(-1 + \frac{1}{C - \ln|x|}\right),
onde C é constante real arbitrária. Lembrar das restrições de domínio x\neq 0 e C-\ln|x|\neq 0.

Resposta

y(x)=x\left(-1+\dfrac{1}{C-\ln|x|}\right), onde C é constante real e valendo para x\neq 0 com C-\ln|x|\neq 0.

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