Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas e o que se pede:
- A equação envolve a função
e sua derivada . - É pedido encontrar a solução geral
(constante de integração arbitrária). - Observação prática:
não pode ser usado na divisão por , então a solução será válida para .
Passo 2
Colocar a equação em uma forma mais explícita para
. Basta isolar
:
Dividindo por
(lembrando que isso exige
):
Repare que o lado direito depende das combinações
e constantes — isto sugere a substituição clássica
, porque então o membro direito será função apenas de
. Essa é uma técnica usual: quando
pode ser escrito como função de
, usar
transforma em equação separável.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então temos
e, pela regra do produto, a derivada é
Agora substitui-se
e
na equação original reescrita.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Desenvolvendo os termos:
Dividindo tudo por
(novamente
):
Reorganizando para isolar
:
Reconhece-se no lado direito um quadrado:
Passo 5
A equação obtida é separável. Escrevemos em forma separável:
Breve explicação da ideia: uma equação separável é aquela que pode ser escrita como uma função de
vezes
igual a uma função de
vezes
. Então integramos cada lado em relação à sua variável.
Passo 6
Integrar ambos os lados:
Calcular cada integral. No lado esquerdo, use a primitiva de
:
No lado direito:
Juntando e absorvendo constantes (pode-se fazer
ou outra combinação), obtemos
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Resolver para
. Primeiro inverter o sinal e isolar
:
onde redefinimos a constante para
. Agora inverter para obter
:
Logo
Lembrando que
, voltamos para
:
Multiplicando por
:
Condições de validade:
e o denominador
(pois apareceu divisão por esse termo). A constante
é arbitrária real.
Passo 8
Resumo final do resultado em forma limpa: a solução geral da equação dada é
onde
é constante real arbitrária. Lembrar das restrições de domínio
e
.