Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
y^{\prime}=\operatorname{sec} ^{2}(x) \operatorname{sec} ^{3}(y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\operatorname{sec}^{2}(x)\,\operatorname{sec}^{3}(y).
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (uma primitiva/ família de soluções), incluindo a constante de integração. Informação relevante fornecida:
  • A equação é de primeira ordem e relaciona y' com funções de x e de y.
  • Há funções \operatorname{sec} envolvidas, logo é necessário ter \cos(y)\neq 0 onde a equação é válida (ou seja, y\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • Deve aparecer uma constante de integração C.

Passo 2

Identificando uma estratégia: observe que o lado direito é produto de uma função de x por uma função de y. Isso sugere usar o método de separação de variáveis. Explico a ideia de forma simples:
  • Se a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=G(x)\,H(y), então pode-se escrever
\frac{1}{H(y)}\,dy = G(x)\,dx,
e integrar os dois lados em relação às suas variáveis. Essa manipulação é válida onde as funções envolvidas são bem definidas.
No nosso caso, G(x)=\operatorname{sec}^{2}(x) e H(y)=\operatorname{sec}^{3}(y). Vou aplicar separação de variáveis.

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente:
\frac{dy}{\operatorname{sec}^{3}(y)}=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Agora uso \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}, então \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{3}(y)}=\cos^{3}(y). Assim a separação fica
\cos^{3}(y)\,dy=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar detalhadamente cada integral.
Escrevo a igualdade das integrais com a constante de integração numa só das integrais (ou adiciono +C depois):
\int \cos^{3}(y)\,dy = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Calculo o lado esquerdo por substituição. Use u=\sin(y). Então du=\cos(y)\,dy. Reescrevendo \cos^{3}(y)\,dy=\cos^{2}(y)\cdot\cos(y)\,dy e usando \cos^{2}(y)=1-\sin^{2}(y)=1-u^{2}, obtemos
\int \cos^{3}(y)\,dy = \int (1-u^{2})\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C_1.
Voltando a y, isso dá
\int \cos^{3}(y)\,dy = \sin(y) - \frac{\sin^{3}(y)}{3} + C_1.
Calculo o lado direito, que é direto, lembrando que \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x):
\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x) + C_2.
Igualando as duas primitivas e combinando as constantes ( C=C_2-C_1) obtemos a relação implícita
\sin(y) - \frac{\sin^{3}(y)}{3} = \tan(x) + C.

Passo 5

Comentário sobre a forma da solução e verificação rápida. A solução ficou em forma implícita. É comum e perfeitamente aceitável em provas quando a inversão para y(x) exigiria resolver um polinômio cúbico em \sin(y). Se quiser, pode multiplicar por 3 para uma forma alternativa:
3\sin(y)-\sin^{3}(y)=3\tan(x)+C',
onde C'=3C é outra constante arbitrária.
Verificação rápida (para confirmar que não houve erro): diferencie implicitamente
\sin(y) - \frac{\sin^{3}(y)}{3} = \tan(x) + C.
Derivando ambos os lados em x:
\bigl(\cos(y)-\sin^{2}(y)\cos(y)\bigr)\,y' = \operatorname{sec}^{2}(x).
No fator à esquerda, fatorando \cos(y) e usando 1-\sin^{2}(y)=\cos^{2}(y), obtemos \cos^{3}(y)\,y'=\operatorname{sec}^{2}(x), ou seja y'=\operatorname{sec}^{2}(x)\operatorname{sec}^{3}(y), que é exatamente a equação original. Logo a solução implícita está correta.

Resposta

\sin(y)-\frac{\sin^{3}(y)}{3}=\tan(x)+C

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