Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede: encontrar a solução geral
(uma primitiva/ família de soluções), incluindo a constante de integração. Informação relevante fornecida:
- A equação é de primeira ordem e relaciona
com funções de e de . - Há funções
envolvidas, logo é necessário ter onde a equação é válida (ou seja, , ). - Deve aparecer uma constante de integração
.
Passo 2
Identificando uma estratégia: observe que o lado direito é produto de uma função de
por uma função de
. Isso sugere usar o método de separação de variáveis. Explico a ideia de forma simples:
- Se a equação tem a forma
, então pode-se escrever
e integrar os dois lados em relação às suas variáveis. Essa manipulação é válida onde as funções envolvidas são bem definidas.
No nosso caso,
e
. Vou aplicar separação de variáveis.
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente:
Agora uso
, então
. Assim a separação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar detalhadamente cada integral.
Escrevo a igualdade das integrais com a constante de integração numa só das integrais (ou adiciono
depois):
Calculo o lado esquerdo por substituição. Use
. Então
. Reescrevendo
e usando
, obtemos
Voltando a
, isso dá
Calculo o lado direito, que é direto, lembrando que
:
Igualando as duas primitivas e combinando as constantes (
) obtemos a relação implícita
Passo 5
Comentário sobre a forma da solução e verificação rápida. A solução ficou em forma implícita. É comum e perfeitamente aceitável em provas quando a inversão para
exigiria resolver um polinômio cúbico em
. Se quiser, pode multiplicar por
para uma forma alternativa:
onde
é outra constante arbitrária.
Verificação rápida (para confirmar que não houve erro): diferencie implicitamente
Derivando ambos os lados em
:
No fator à esquerda, fatorando
e usando
, obtemos
, ou seja
, que é exatamente a equação original. Logo a solução implícita está correta.