Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial de
ordem
Informações dadas:
- A equação relaciona
com e . - Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
- O objetivo é encontrar
tal que a igualdade acima seja satisfeita.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do lado direito agrupando termos semelhantes. Observe os termos em
e em
:
Fatorando
em evidência:
Passo 3
A equação fica então
Escrevendo
, temos
Esta forma permite separar as variáveis
e
em lados opostos da igualdade (colocar todos os termos com
multiplicando
de um lado e os termos com
multiplicando
do outro). Separar variáveis é válido quando se pode escrever a equação como produto de função de
por função de
.
Passo 4
Separe as variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Agora ambas as partes dependem apenas de uma variável: lado esquerdo só de
, lado direito só de
. O próximo passo é integrar os dois lados.
Passo 5
Integre ambos os lados:
Explicando as integrais:
- A integral
é conhecida: resulta em mais constante. Isso vem do fato de que a derivada de é . - A integral
pode ser feita termo a termo: e .
Passo 6
Portanto, após integrar:
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário). Aqui
representa a família de soluções possíveis: cada escolha de
dá uma solução distinta.
Passo 7
Isolando
, aplicamos a tangente em ambos os lados (função inversa de
):
Esta é a solução geral escrita de forma explícita: para cada constante
obtemos uma solução
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): defina
e
. Então
Como
, isso dá
que coincide com a equação original. Logo a solução está correta.
Passo 9
Observação sobre domínio:
tem descontinuidades quando seu argumento vale
. Assim, cada solução
é válida em intervalos de
onde
(para todo inteiro
). Em provas, normalmente basta apresentar a solução geral; se pedirem intervalo maximal de existência, é preciso excluir os pontos onde o argumento da tangente atinge essas singularidades.