Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
y^{\prime}=1+x+y^{2}+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial de 1^{\text{a}} ordem
y' = 1 + x + y^{2} + x y^{2}.
Informações dadas:
  • A equação relaciona y'= \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
  • O objetivo é encontrar y(x) tal que a igualdade acima seja satisfeita.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do lado direito agrupando termos semelhantes. Observe os termos em 1 e em y^{2}:
1 + x + y^{2} + x y^{2} = (1+x) + (1+x)\,y^{2}.
Fatorando 1+x em evidência:
1 + x + y^{2} + x y^{2} = (1+x)\,(1+y^{2}).

Passo 3

A equação fica então
y' = (1+x)\,(1+y^{2}).
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = (1+x)\,(1+y^{2}).
Esta forma permite separar as variáveis y e x em lados opostos da igualdade (colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e os termos com x multiplicando dx do outro). Separar variáveis é válido quando se pode escrever a equação como produto de função de x por função de y.

Passo 4

Separe as variáveis dividindo por (1+y^{2}) e multiplicando por dx:
\frac{dy}{1+y^{2}} = (1+x)\,dx.
Agora ambas as partes dependem apenas de uma variável: lado esquerdo só de y, lado direito só de x. O próximo passo é integrar os dois lados.

Passo 5

Integre ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = \int (1+x)\,dx.
Explicando as integrais:
  • A integral \int \dfrac{dy}{1+y^{2}} é conhecida: resulta em \arctan y mais constante. Isso vem do fato de que a derivada de \arctan y é \dfrac{1}{1+y^{2}}.
  • A integral \int (1+x)\,dx pode ser feita termo a termo: \int 1\,dx = x e \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Portanto, após integrar:
\arctan y = x + \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). Aqui C representa a família de soluções possíveis: cada escolha de C dá uma solução distinta.

Passo 7

Isolando y, aplicamos a tangente em ambos os lados (função inversa de \arctan):
y = \tan\!\biggl(x + \frac{x^{2}}{2} + C\biggr).
Esta é a solução geral escrita de forma explícita: para cada constante C\in\mathbb{R} obtemos uma solução y(x).

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): defina u(x)=x+\dfrac{x^{2}}{2}+C e y=\tan u. Então
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^{2}u\cdot \frac{du}{dx} = (1+\tan^{2}u)\cdot(1+x).
Como \tan u = y, isso dá
\frac{dy}{dx} = (1+y^{2})\,(1+x),
que coincide com a equação original. Logo a solução está correta.

Passo 9

Observação sobre domínio: \tan tem descontinuidades quando seu argumento vale \dfrac{\pi}{2}+k\pi. Assim, cada solução y(x)=\tan\bigl(x+\tfrac{x^{2}}{2}+C\bigr) é válida em intervalos de x onde x+\tfrac{x^{2}}{2}+C \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi (para todo inteiro k). Em provas, normalmente basta apresentar a solução geral; se pedirem intervalo maximal de existência, é preciso excluir os pontos onde o argumento da tangente atinge essas singularidades.

Resposta

y(x)=\tan\!\Bigl(x+\dfrac{x^{2}}{2}+C\Bigr),\quad C\in\mathbb{R}

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