Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
y^{\prime}=\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem
y'=\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é válida apenas para x\neq 0 (pois aparece x^{2} no denominador).
  • Procura‑se a solução geral (família de soluções) e também possíveis soluções singulares.

Passo 2

Observar a forma do lado direito:
\frac{y^{2}+x y}{x^{2}}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right).
Quando o lado direito depende apenas da razão y/x, a equação é do tipo “homogênea de 1ª ordem” e fica natural fazer a substituição
y = x u(x),
onde definimos u(x)=\dfrac{y(x)}{x}. Essa substituição transforma a equação em outra para u(x) que costuma ser separável.

Passo 3

Calcular a derivada y' em função de u e u'. Como y=xu,
y' = u + x\,u'.
Agora substituímos na equação original. O lado direito em termos de u é u^{2}+u. Igualando,
u + x\,u' = u^{2}+u.

Passo 4

Simplificar a igualdade obtida:
u + x\,u' = u^{2}+u \quad\Longrightarrow\quad x\,u' = u^{2}.
Isolando u' obtemos
u'=\frac{u^{2}}{x}.
Esta é uma equação separável (as variáveis u e x aparecem em fatores separados), então podemos separar e integrar.

Passo 5

Separar variáveis e integrar:
\frac{du}{u^{2}}=\frac{dx}{x}.
Agora integrando ambos os lados:
\int \frac{du}{u^{2}}=\int \frac{dx}{x}.
A integral do lado esquerdo é \int u^{-2}du = -u^{-1}. A integral do lado direito é \ln|x|. Logo
-\,\frac{1}{u}=\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Observação: usamos \ln|x| porque a primitiva de 1/x é \ln|x|.

Passo 6

Resolver para u. A partir de
-\,\frac{1}{u}=\ln|x| + C
temos
\frac{1}{u} = -\ln|x| - C.
Renomeando a constante arbitrária (por exemplo C_1=-C) obtemos uma forma mais clara:
u=\frac{1}{C_{1}-\ln|x|},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária. Isso é apenas mudança de símbolo para a constante, comum em soluções de EDO.

Passo 7

Voltar à variável y. Como y=xu,
y(x)=x\cdot \frac{1}{C_{1}-\ln|x|} =\frac{x}{C_{1}-\ln|x|}.
Relembrando restrições de domínio:
  • x\neq 0 (pela equação original).
  • Além disso deve haver C_{1}-\ln|x|\neq 0 para evitar divisão por zero; ou seja, x não pode ser tal que \ln|x|=C_{1}.
    Essas condições definem o domínio de cada solução dada por um C_{1}.

Passo 8

Procurar soluções constantes/singulares. Verificar y\equiv 0:
  • Se y(x)=0 então y'=0 e o lado direito \dfrac{0+ x\cdot 0}{x^{2}}=0. Portanto y\equiv 0 é solução (solução trivial) e precisa ser listada, pois não aparece como caso particular da fórmula y=\dfrac{x}{C_{1}-\ln|x|}.
Dica rápida para a prova: ao ver \dfrac{y^{2}+xy}{x^{2}}, reconheça imediatamente função de y/x e tente y=xu. Isso normalmente reduz para separável, como aqui.

Resposta

y(x)=\frac{x}{C-\ln|x|},\quad C\\ \text{constante real}
y(x)\equiv 0

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