Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem
Informações dadas e o que se pede:
- A incógnita é a função
. - A equação é válida apenas para
(pois aparece no denominador). - Procura‑se a solução geral (família de soluções) e também possíveis soluções singulares.
Passo 2
Observar a forma do lado direito:
Quando o lado direito depende apenas da razão
, a equação é do tipo “homogênea de 1ª ordem” e fica natural fazer a substituição
onde definimos
. Essa substituição transforma a equação em outra para
que costuma ser separável.
Passo 3
Calcular a derivada
em função de
e
. Como
,
Agora substituímos na equação original. O lado direito em termos de
é
. Igualando,
Passo 4
Simplificar a igualdade obtida:
Isolando
obtemos
Esta é uma equação separável (as variáveis
e
aparecem em fatores separados), então podemos separar e integrar.
Passo 5
Separar variáveis e integrar:
Agora integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
. Logo
onde
é a constante de integração. Observação: usamos
porque a primitiva de
é
.
Passo 6
Resolver para
. A partir de
temos
Renomeando a constante arbitrária (por exemplo
) obtemos uma forma mais clara:
onde
é uma constante real arbitrária. Isso é apenas mudança de símbolo para a constante, comum em soluções de EDO.
Passo 7
Voltar à variável
. Como
,
Relembrando restrições de domínio:
-
(pela equação original). - Além disso deve haver
para evitar divisão por zero; ou seja, não pode ser tal que .
Essas condições definem o domínio de cada solução dada por um.
Passo 8
Procurar soluções constantes/singulares. Verificar
:
- Se
então e o lado direito . Portanto é solução (solução trivial) e precisa ser listada, pois não aparece como caso particular da fórmula .
Dica rápida para a prova: ao ver
, reconheça imediatamente função de
e tente
. Isso normalmente reduz para separável, como aqui.