Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficiente:
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 16y = e^{4x}
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos (1) encontrar a solução geral da homogênea associada e (2) determinar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea associada. A equação característica é
r^{2} - 8r + 16 = 0,
cuja única raiz dupla é r=4. Logo a solução geral homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{4x} + C_{2}\,x\,e^{4x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para
y'' - 8y' + 16y = e^{4x}.
Como o termo de forçamento e^{4x} coincide com a raiz r=4 de multiplicidade 2, multiplicamos o palpite padrão por x^{2}. Assim fazemos
y_{p}(x) = A\,x^{2}e^{4x},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_{p}' = A\,e^{4x}(2x + 4x^{2}),
y_{p}'' = A\,e^{4x}\bigl(16x^{2} + 16x + 2\bigr).
Substituindo em y'' - 8y' + 16y:
y_{p}'' - 8y_{p}' + 16y_{p} = A\,e^{4x}\bigl(16x^{2} + 16x + 2 - 8(2x + 4x^{2}) + 16x^{2}\bigr) = 2A\,e^{4x}.
Para isso valer e^{4x}, precisamos 2A=1, ou seja A=\tfrac12.

Passo 5

A solução geral da equação é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{4x} + C_{2}\,x\,e^{4x} + \tfrac12\,x^{2}e^{4x}.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{4x} + C_{2}x\,e^{4x} + \tfrac12\,x^{2}e^{4x}.

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