Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficiente:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos (1) encontrar a solução geral da homogênea associada e (2) determinar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea associada. A equação característica é
cuja única raiz dupla é
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo de forçamento
coincide com a raiz
de multiplicidade 2, multiplicamos o palpite padrão por
. Assim fazemos
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Para isso valer
, precisamos
, ou seja
.
Passo 5
A solução geral da equação é a soma das partes homogênea e particular: