Resolva o sistema \left\{\begin{aligned} x^{\prime}-x+y^{\prime} & =-t^{2}+5 t \\\ x^{\prime}+y^{\prime}+2 y & =2 t^{2}+6 t\end{aligned}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema de equações diferenciais para as funções x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} x' - x + y' = -t^2 + 5t,\\\ x' + y' + 2y = 2t^2 + 6t. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de variáveis para reduzir a um sistema que possa ser resolvido passo a passo, chegando a uma equação diferencial de primeira ordem para y\] e depois recuperando \(x.

Passo 2

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar x'\!+\!y'. Assim,
\bigl(x'+y'+2y\bigr)\;-\;\bigl(x'-x+y'\bigr) = (2t^2+6t)-(-t^2+5t).
No lado esquerdo sobra x+2y e no direito 3t^2+t. Logo,
x + 2y = 3t^2 + t.

Passo 3

Isolamos x em função de y e t:
x = 3t^2 + t - 2y.
Em seguida, derivamos essa expressão para obter x':
x' = \frac{d}{dt}\bigl(3t^2 + t - 2y\bigr) = 6t + 1 - 2y'.

Passo 4

Substituímos x e x' na primeira equação original
x' - x + y' = -t^2 + 5t
ficando
(6t+1 - 2y') - (3t^2 + t - 2y) + y' = -t^2 + 5t.
Agrupando termos em y' e em y, obtemos
- y' + 2y = -2t^2 +1,
ou seja
y' - 2y = -2t^2 + 1.

Passo 5

Para resolver
y' - 2y = -2t^2 + 1
usamos o fator integrante \mu(t)=e^{-2t}. Multiplicando a equação por \mu temos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-2t}\bigr) = (-2t^2+1)e^{-2t}.
Integramos ambos os lados:
y\,e^{-2t} = \int(-2t^2+1)e^{-2t}\,dt = e^{-2t}\bigl(t^2+t\bigr)+C.
Logo
y(t) = t^2 + t + C\,e^{2t},
com C constante arbitrária.

Passo 6

Finalmente, voltamos à relação do Passo 3 para obter x(t):
x = 3t^2 + t - 2y = 3t^2 + t - 2\bigl(t^2+t + C\,e^{2t}\bigr) = t^2 - t -2C\,e^{2t}.

Resposta

x(t) = t^2 - t - 2C\,e^{2t},\qquad y(t) = t^2 + t + C\,e^{2t},
onde C é uma constante arbitrária.

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