Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+y^prime-2 y=2 t

Passo 1

A equação diferencial dada é y''+y'-2y=2t. O conteúdo envolve EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e segundo membro polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois um particular adaptado ao termo 2t.

Passo 2

Considerando a parte homogênea y''+y'-2y=0, montamos a equação característica
r^2+r-2=0
que fatoriza em (r-1)(r+2)=0, logo as raízes são r1=1 e r2=-2. Assim a solução geral homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^-2t

Passo 3

Para o segundo membro polinomial 2t, suponha uma solução particular do tipo yp(t)=At+B. As derivadas são yp'=A e yp''=0. Substituindo na EDO:
0 + A - 2(At+B) = -2A,t + (A-2B) = 2t + 0

Passo 4

Igualando coeficientes de t e termo constante:
-2A = 2 Rightarrow A=-1,
A-2B=0 Rightarrow -1 -2B=0 ;Rightarrow; B=-tfrac12
Logo
yp(t) = -t - tfrac12

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

y(t)=C1e^t+C2e^-2t-t-tfrac12

Exercícios relacionados