Resolva s seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+y^prime-6 y=0, y(0)=10 e y^prime(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI y'' + y' - 6y = 0 com y(0)=10 e y'(0)=0. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y=e^rx, substituímos na EDO e obtemos a equação característica
r^2 + r - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica, fatoramos como (r-2)(r+3)=0. Assim as raízes são r1 = 2 e r2 = -3, e a solução geral fica y = C1 e^2x + C2 e^-3x.

Passo 4

Agora calculamos a derivada
y' = 2C1 e^2x - 3C2 e^-3x
E aplicamos as condições iniciais em x=0:
  1. y(0)=C1 + C2 = 10
  2. y'(0)=2C1 - 3C2 = 0
    Isso forma um sistema para C1 e C2.

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 10, 2C1 - 3C2 = 0,
achamos C2 = 4 e C1 = 6. Substituindo na solução geral obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

y(x) = 6e^2x + 4e^-3x

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