Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
y^prime=(2 y-3 x+7)^3+32

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=(2y-3x+7)^3+32
usando método de separação de variáveis após uma mudança de variável apropriada. A matéria envolvida é EDO de primeira ordem, separação de variáveis e uso de substituições para simplificar a forma da equação.

Passo 2

A ideia é eliminar o termo misto entre x e y. Propomos a mudança de variável
u = 2y - 3x + 7
Essa escolha vem de notar que aparece exatamente essa combinação dentro do cubo na EDO original.

Passo 3

Agora calculamos du/dx. Como u = 2y - 3x + 7, vale
dudx = 2dydx - 3
Substituindo dy/dx da EDO original:
dudx = 2cdot u^3+32 - 3 = (u^3+3)-3 = u^3
Assim obtemos a equação separável
dudx = u^3

Passo 4

Agora separamos variáveis e integramos:
integral u^-3,du = integral 1,dx
que dá
-12u^2 = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente voltamos à variável original. De
-12u^2 = x + C
temos
1u^2 = -2(x + C) = C1 - 2x,
com C1 = -2C. Então
u = pm 1raizC1 - 2xe 2y - 3x + 7 = pm 1raizC1 - 2x
Isolando y resulta
y(x) = 3x - 72 pm 12raizC1 - 2x

Passo 6

A constante C1 pode ser rebatizada como uma constante genérica C. Dessa forma a solução geral fica expressa explicitamente em termos de x e da constante de integração.

Resposta

Uma forma explícita da solução geral é:
y(x) = 3x - 72 pm 12raizC - 2x,
onde C é constante de integração.

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