Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando método de separação de variáveis após uma mudança de variável apropriada. A matéria envolvida é EDO de primeira ordem, separação de variáveis e uso de substituições para simplificar a forma da equação.
Passo 2
A ideia é eliminar o termo misto entre
e
. Propomos a mudança de variável
Essa escolha vem de notar que aparece exatamente essa combinação dentro do cubo na EDO original.
Passo 3
Agora calculamos
. Como
, vale
Substituindo
da EDO original:
Assim obtemos a equação separável
Passo 4
Agora separamos variáveis e integramos:
que dá
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente voltamos à variável original. De
temos
com
. Então
Isolando
resulta
Passo 6
A constante
pode ser rebatizada como uma constante genérica
. Dessa forma a solução geral fica expressa explicitamente em termos de
e da constante de integração.
Resposta
Uma forma explícita da solução geral é:
onde
é constante de integração.