Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de variação dos parâmetros.
(e) y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 t)

Passo 1

A equação diferencial dada é y'' + 9y = 9sec^2(3t). Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método de variação dos parâmetros. Para isso, precisamos da solução geral da homogênea, do wronskiano das soluções básicas, das expressões de v1' e v2' e da integração dessas expressões para obter a solução particular.

Passo 2

Para achar a solução da homogênea y'' + 9y = 0, montamos a equação característica r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = pm3i. Assim, a solução geral da homogênea é
yh = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

No método de variação de parâmetros escolhemos as soluções independentes y1 = cos(3t) e y2 = sin(3t). Calculamos o Wronskiano:
W = y1y2' - y1'y2 = cos(3t)cdot3cos(3t) - (-3sin(3t))cdotsin(3t) = 3
A parte não homogênea é g(t) = 9sec^2(3t).

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão:
v1' = -g(t),y2W, v2' = g(t),y1W
Substituindo os valores:
v1' = -3tan(3t)sec(3t), v2' = 3sec(3t)

Passo 5

Integramos para obter v1 e v2. Observando que ddt[sec(3t)] = 3sec(3t)tan(3t), temos:
v1 = integral -3tan(3t)sec(3t),dt = -sec(3t),
v2 = integral 3sec(3t),dt = lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 6

A solução particular pelo método é
yp = v1y1 + v2y2 = -sec(3t)cos(3t) + lnl|sec(3t)+tan(3t)r|sin(3t) = -1 + sin(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 7

A solução geral da EDO é dada pela soma da parte homogênea e da particular, isto é, y = yh + yp.

Resposta

y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) - 1 + sin(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

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