Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
(h) y^prime prime+9 y^prime+20 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 9y' + 20y = 0. Esse conteúdo envolve equações diferenciais com soluções baseadas na equação característica.

Passo 2

Para montar a equação característica, usamos a hipótese de solução y = e^r x. Como y' = r e^r x e y'' = r^2 e^r x, substituindo na equação dada resultamos em
r^2 + 9r + 20 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 9r + 20 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos r = -9 pm raiz9^2 - 4 cdot 1 cdot 202cdot1 = -9 pm raiz81 - 802 = -9 pm 12.

Passo 4

As duas raízes encontradas são r1 = -9 + 12 = -4 e r2 = -9 - 12 = -5.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é dada por y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x. Substituindo r1 e r2, obtemos y(x) = C1 e^-4x + C2 e^-5x.

Resposta

y(x) = C1 e^-4x + C2 e^-5x

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