Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
©
onde
©
Passo 1
O problema pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO
com condições iniciais
,
, onde
é a função em pedaços. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de EDOs lineares e o teorema do escalonamento (função degrau).
Passo 2
A gente reescreve
em termos da função degrau: Assim aplicamos Laplace em pedaços.
Calculamos
. Sabemos
e, usando o teorema do deslocamento,
Logo,
Passo 3
Aplicamos Laplace na EDO:
. Como
, temos
, ou seja
Passo 4
Agora fazemos frações parciais para a parte sem deslocamento,
Invertendo, obtemos
Passo 5
Para a parte de
, separamos em
e já sabemos a primeira peça; a segunda faz fração
Invertendo e somando dá
Passo 6
Pelo teorema do degrau, a parte deslocada dá
invertida como
. Assim a solução final é
Passo 7
Substituindo
e
resulta em: para
,
; para
,
Resposta
y(t)=\frac t4-\frac18\sin(2t)-u(t-1)\Bigl(\frac t4-\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\frac18\sin\bigl(2(t-1)\bigr)\Bigr), nas quais para 0\le t<1 vale y(t)=t/4-\tfrac18\sin(2t) e para t\ge1 vale y(t)=\tfrac14\cos(2t-2)+\tfrac18\sin(2t-2)-\tfrac18\sin(2t).