Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
© y^prime prime+4 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 onde g(t)= t, & 0 <= t<1 0, & 1 <= t

Passo 1

O problema pede pra usar a transformada de Laplace pra resolver a EDO y''+4y=g(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, onde g(t) é a função em pedaços. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de EDOs lineares e o teorema do escalonamento (função degrau).

Passo 2

A gente reescreve g(t) em termos da função degrau: Assim aplicamos Laplace em pedaços.
Calculamos g(t)=tx08igl(u(t)-u(t-1)r)=tx08igl[1-u(t-1)r]. Sabemos G(s)= Lt- Lt,u(t-1) e, usando o teorema do deslocamento, Lt=1/s^2 Logo, Lt,u(t-1)=e^-sintegral0^infty(tau+1)e^-staudtau=e^-sl(tfrac1s^2+tfrac1sr)

Passo 3

Aplicamos Laplace na EDO: Ly''+4 Ly=G(s). Como y(0)=y'(0)=0, temos (s^2+4)Y(s)=G(s), ou seja Y(s)=1s^2(s^2+4)-e^-s1/s^2+1/ss^2+4"

Passo 4

Agora fazemos frações parciais para a parte sem deslocamento, H(s)=1s^2(s^2+4)=14l(1s^2-1s^2+4r) Invertendo, obtemos y1(t)= t4-18sin(2t)

Passo 5

Para a parte de (1/s^2+1/s)/(s^2+4), separamos em 1s^2(s^2+4)+1s(s^2+4) e já sabemos a primeira peça; a segunda faz fração 1s(s^2+4)=141s-14 ss^2+4 Invertendo e somando dá f(t)=t+14-14cos(2t)-18sin(2t)

Passo 6

Pelo teorema do degrau, a parte deslocada dá e^-sF(s) invertida como u(t-1)f(t-1). Assim a solução final é y(t)=y1(t)-u(t-1),f(t-1)

Passo 7

Substituindo y1 e f resulta em: para 0<= t<1, y(t)=tfrac t4-tfrac18sin(2t); para t>=1, y(t)= t4-18sin(2t)-l(t4-14cosl(2(t-1)r)-18sinl(2(t-1)r)r)

Resposta

y(t)=\frac t4-\frac18\sin(2t)-u(t-1)\Bigl(\frac t4-\frac14\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\frac18\sin\bigl(2(t-1)\bigr)\Bigr), nas quais para 0\le t<1 vale y(t)=t/4-\tfrac18\sin(2t) e para t\ge1 vale y(t)=\tfrac14\cos(2t-2)+\tfrac18\sin(2t-2)-\tfrac18\sin(2t).

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