Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso envolve achar primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. A equação característica é
, que tem raiz dupla
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
O método dos coeficientes indeterminados diz que, para cada termo não homogêneo, testamos uma forma candidata. Como temos
e
, escrevemos
onde
Passo 4
Para o termo
: a forma natural seria
, mas como
já está na homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por
. Então:
Calculando as derivadas e substituindo em
obtém-se um polinômio
, que deve igualar ((1,t + 0)e^t. Daí
resultando em
e
. Logo
Passo 5
Para o termo constante
: testamos
. Como
, a equação vira
de onde
Passo 6
Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral:
Resposta
y(t) = (C_1 + C_2 t)e^t + \frac{t3}{6}et + 4