Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes y'' - 2y' + y = t e^t + 4 usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso envolve achar primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y'' - 2y' + y = 0. A equação característica é r^2 - 2r + 1 = 0, que tem raiz dupla r = 1. Logo, a solução homogênea é
yh(t) = (C1 + C2 t)e^t

Passo 3

O método dos coeficientes indeterminados diz que, para cada termo não homogêneo, testamos uma forma candidata. Como temos t e^t e 4, escrevemos
yp(t) = yp1(t) + yp2(t),
onde yp1 combate t e^t e yp2 combate 4.

Passo 4

Para o termo t e^t: a forma natural seria (A t + B)e^t, mas como e^t já está na homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por t^2. Então:
yp1(t) = (A t^3 + B t^2)e^t
Calculando as derivadas e substituindo em y'' - 2y' + y = t e^t obtém-se um polinômio (6A t + 2B)e^t, que deve igualar ((1,t + 0)e^t. Daí
6A = 1, 2B = 0
resultando em A = tfrac16 e B = 0. Logo
yp1(t) = t^36e^t

Passo 5

Para o termo constante 4: testamos yp2(t) = D. Como y'p2=y''p2=0, a equação vira
y'' - 2y' + y = D = 4
de onde D=4. Portanto
yp2(t) = 4

Passo 6

Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral:
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = (C1 + C2 t)e^t + t^36e^t + 4

Resposta

y(t) = (C_1 + C_2 t)e^t + \frac{t3}{6}et + 4

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