Resolva as seguintes equações diferenciais, usando transformada de laplace:
Condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas equações e utilizar as propriedades das transformadas para resolver para
, a transformada de
. Depois, usaremos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
- A Transformada de
é - A Transformada de
é - A Transformada de
é
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, substituímos as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora agrupar os termos que contêm
:
Isolamos
:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar o denominador para encontrar uma forma que possamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Observamos que:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 6
Reconhecemos que a Transformada Inversa de Laplace de
é
. Comparando com nossa expressão, temos
e
. Ajustamos o numerador para se adequar à forma padrão:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: