Resolva as seguintes equações diferenciais, usando transformada de laplace:
x^prime prime(t)+2 x^prime(t)+5 x(t)=0
Condições iniciais:
l x(0)=0 x^prime(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
x''(t) + 2 x'(t) + 5 x(t) = 0
Com as condições iniciais:
l x(0) = 0 x'(0) = 3
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas equações e utilizar as propriedades das transformadas para resolver para , a transformada de . Depois, usaremos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
  • A Transformada de s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) + 2 [s X(s) - x(0)] + 5 X(s) = 0 é
  • A Transformada de é
  • A Transformada de é
Aplicando isso na equação:

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais s^2 X(s) - s cdot 0 - 3 + 2 [s X(s) - 0] + 5 X(s) = 0 e s^2 X(s) - 3 + 2s X(s) + 5 X(s) = 0 na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora agrupar os termos que contêm (s^2 + 2s + 5) X(s) - 3 = 0 :
X(s) = 3s^2 + 2s + 5
Isolamos :

Passo 5

Agora, precisamos simplificar o denominador para encontrar uma forma que possamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Observamos que:
s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Então, podemos reescrever X(s) = 3(s + 1)^2 + 4 como:

Passo 6

Reconhecemos que a Transformada Inversa de Laplace de X(s) = 3/2 cdot 2(s + 1)^2 + 2^2 é . Comparando com nossa expressão, temos e . Ajustamos o numerador para se adequar à forma padrão:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
x(t) = 32 e^-t sin(2t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = 32 e^-t sin(2t)

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