Calcule a derivada de ordem 2 da função f(x)=raiz3-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de segunda ordem da função f(x)=raiz3-x^2. O conteúdo é derivadas de ordens superiores, e vamos usar as regras da cadeia e do produto para chegar lá.

Passo 2

Primeiro transformamos f(x) em (3-x^2)^1/2 e aplicamos a regra da cadeia. Lembrando que se g(x)=u(x)^n então g'(x)=n,u(x)^n-1,u'(x). Aqui u(x)=3-x^2 e n=1/2. Assim:
f'(x)=12(3-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-x(3-x^2)^-1/2
Desse modo, achamos a derivada primeira.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-x(3-x^2)^-1/2. É um produto de u(x)=-x e v(x)=(3-x^2)^-1/2. Usamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv' e a regra da cadeia em v. Isso dá:
f''(x)=-1cdot(3-x^2)^-1/2+(-x)cdotl[(-tfrac12)(3-x^2)^-3/2cdot(-2x)r]
Com isso iniciamos a simplificação.

Passo 4

Para simplificar, note que o segundo termo fica -xcdot x(3-x^2)^-3/2=-x^2(3-x^2)^-3/2. Reunindo:
f''(x)=-(3-x^2)^-1/2-x^2(3-x^2)^-3/2=-3(3-x^2)^3/2
Pronto, esse é o resultado final.

Resposta

f''(x) = -3(3-x^2)^3/2

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