Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x 0(11-cos x-1x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 0l(11-cos x-1xr)
O conteúdo envolvido é limite de funções trigonométricas em torno de 0 e uso de série de Taylor para investigar o comportamento assintótico.

Passo 2

Colocamos as duas frações sobre o mesmo denominador:
11-cos x-1x =x - (1-cos x)x,(1-cos x) =cos x + x - 1x,(1-cos x)

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de cos x em torno de 0:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Dessa forma
cos x + x - 1 = x - x^22 + O(x^4), 1-cos x = x^22 + O(x^4)

Passo 4

Substituindo as partes dominantes na fração:
cos x + x - 1x,(1-cos x) sim x - tfracx^22x cdot tfracx^22 = x - tfracx^22tfracx^32 = 2x - x^2x^3 = 2x^2 - 1x
Quando xto 0, o termo tfrac2x^2 cresce sem limite e domina a expressão.

Passo 5

Como a parte dominante tende a +infty, o limite não existe como valor finito, divergindo para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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