Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x e^{-x} \sqrt{1-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x e^{-x}\sqrt{1-y^{2}}
e pede que a gente resolva para y em função de x. Informações relevantes que temos:
\;
\bullet A equação relaciona y, sua derivada \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, e funções de x.
\bullet Aparece \sqrt{1-y^{2}}, então valores de y devem satisfazer 1-y^{2}\ge 0 (ou seja, |y|\le 1) quando quisermos a solução clássica que envolve essa raiz.
\bullet Há possibilidades de soluções constantes (por exemplo, se \sqrt{1-y^{2}}=0 a equação pode ficar trivial).
A partir daqui vamos separar variáveis e integrar para encontrar a família de soluções.

Passo 2

Primeiro vamos separar variáveis (colocar tudo que depende de y num lado e tudo que depende de x no outro). Supondo |y|<1 (para que \sqrt{1-y^{2}}>0) e y\neq 0 localmente, podemos dividir ambos os lados por \sqrt{1-y^{2}} e obter:
\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\mathrm{d}y = x e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Comentário rápido sobre domínio: ao dividir por \sqrt{1-y^{2}} perdemos possíveis soluções onde \sqrt{1-y^{2}}=0, ou seja y=\pm 1. Essas soluções constantes devem ser verificadas separadamente mais adiante. Também note que y=0 não é solução global (pois substituindo na equação original teríamos 0=x e^{-x}, que só vale em x=0).

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Começamos pelo lado esquerdo:
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\mathrm{d}y.
Usamos substituição simples: deixe \;u=1-y^{2}\;. Então \mathrm{d}u=-2y\,\mathrm{d}y, logo y\,\mathrm{d}y = -\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u. Substituindo:
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\mathrm{d}y = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u}{\sqrt{u}} = -\tfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,\mathrm{d}u.
A integral de u^{-1/2} é 2u^{1/2}, então obtemos
\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}\,\mathrm{d}y = -\sqrt{u} + \text{const} = -\sqrt{1-y^{2}} + \text{const}.
Explicando o que fizemos: a substituição transforma uma expressão em y numa integral simples em u; a conta é direta e dá -\sqrt{1-y^{2}} mais constante.

Passo 4

Agora a integral do lado direito:
\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Aqui usamos integração por partes. A fórmula é \int U\,\mathrm{d}V = U V - \int V\,\mathrm{d}U. Escolhemos U=x e \mathrm{d}V=e^{-x}\mathrm{d}x. Então \mathrm{d}U=\mathrm{d}x e V=-e^{-x}. Aplicando:
\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\mathrm{d}x = -x e^{-x} + \int e^{-x}\mathrm{d}x.
A integral de e^{-x} é -e^{-x}, então
\int x e^{-x}\,\mathrm{d}x = -x e^{-x} - e^{-x} + \text{const} = -(x+1)e^{-x} + \text{const}.
Resumo: usamos integração por partes porque tínhamos um polinômio ( x) vezes uma exponencial; essa é a técnica padrão e o cálculo é direto.

Passo 5

Igualando as duas integrais (colocando a constante geral num lado só) obtemos:
-\sqrt{1-y^{2}} = -(x+1)e^{-x} + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Multiplicando por -1 e renomeando a constante se quiser, fica mais limpinho:
\sqrt{1-y^{2}} = (x+1)e^{-x} + C.
Observação: aqui \sqrt{1-y^{2}} é o ramo não negativo da raiz; a constante C pode ser qualquer número real, mas a igualdade só vale onde ambos os lados têm sinal compatível (especificamente o lado esquerdo é \ge0).

Passo 6

A partir da relação anterior isolamos y. Elevando ao quadrado ambos os lados (lembrando de controlar o domínio depois) temos:
1-y^{2} = \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}.
Isolando y^{2}:
y^{2} = 1 - \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}.
Portanto a solução geral (não-constante, obtida pela separação e integração) é
y(x) = \pm \sqrt{\,1 - \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}\,},
com a restrição natural de que o radicando seja não negativo:
1 - \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}\ge 0.
A escolha do sinal + ou - é determinada pela condição inicial (se houver). Note que a separação descartou as soluções em que \sqrt{1-y^{2}}=0; devemos acrescentá‑las explicitamente.

Passo 7

Soluções constantes perdidas na divisão/ separação: verificar y=\pm 1. Substituindo y\equiv 1 ou y\equiv -1 na equação original, obtemos 0=0, então ambas são soluções válidas para todos os x. Essas soluções não aparecem na família obtida por separação (pois aí dividimos por \sqrt{1-y^{2}}), por isso as incluímos à parte.

Passo 8

Comentário final e interpretação prática: a família geral de soluções é dada implicitamente por
\sqrt{1-y^{2}} = (x+1)e^{-x} + C,
ou explicitamente por
y(x) = \pm \sqrt{\,1 - \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}\,}
sob a condição 1 - \bigl((x+1)e^{-x} + C\bigr)^{2}\ge 0. Além disso, as duas soluções constantes
y(x)\equiv 1 \quad\text{e}\quad y(x)\equiv -1
devem ser incluídas. Para usar a solução num problema com condição inicial, escolha C e o sinal de acordo com essa condição e verifique a região onde o radicando é não negativo.

Resposta

y(x)=\pm \sqrt{\,1-\bigl((x+1)e^{-x}+C\bigr)^{2}\,}, com 1-\bigl((x+1)e^{-x}+C\bigr)^{2}\ge 0.\n y(x)\equiv 1 e y(x)\equiv -1 (soluções constantes).

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