Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente resolva para
em função de
. Informações relevantes que temos:
A equação relaciona
, sua derivada
, e funções de
.
Aparece
, então valores de
devem satisfazer
(ou seja,
) quando quisermos a solução clássica que envolve essa raiz.
Há possibilidades de soluções constantes (por exemplo, se
a equação pode ficar trivial).
A partir daqui vamos separar variáveis e integrar para encontrar a família de soluções.
A partir daqui vamos separar variáveis e integrar para encontrar a família de soluções.
Passo 2
Primeiro vamos separar variáveis (colocar tudo que depende de
num lado e tudo que depende de
no outro). Supondo
(para que
) e
localmente, podemos dividir ambos os lados por
e obter:
Comentário rápido sobre domínio: ao dividir por
perdemos possíveis soluções onde
, ou seja
. Essas soluções constantes devem ser verificadas separadamente mais adiante. Também note que
não é solução global (pois substituindo na equação original teríamos
, que só vale em
).
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Começamos pelo lado esquerdo:
Usamos substituição simples: deixe
. Então
, logo
. Substituindo:
A integral de
é
, então obtemos
Explicando o que fizemos: a substituição transforma uma expressão em
numa integral simples em
; a conta é direta e dá
mais constante.
Passo 4
Agora a integral do lado direito:
Aqui usamos integração por partes. A fórmula é
. Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
A integral de
é
, então
Resumo: usamos integração por partes porque tínhamos um polinômio (
) vezes uma exponencial; essa é a técnica padrão e o cálculo é direto.
Passo 5
Igualando as duas integrais (colocando a constante geral num lado só) obtemos:
onde
é constante arbitrária de integração. Multiplicando por
e renomeando a constante se quiser, fica mais limpinho:
Observação: aqui
é o ramo não negativo da raiz; a constante
pode ser qualquer número real, mas a igualdade só vale onde ambos os lados têm sinal compatível (especificamente o lado esquerdo é
).
Passo 6
A partir da relação anterior isolamos
. Elevando ao quadrado ambos os lados (lembrando de controlar o domínio depois) temos:
Isolando
:
Portanto a solução geral (não-constante, obtida pela separação e integração) é
com a restrição natural de que o radicando seja não negativo:
A escolha do sinal
ou
é determinada pela condição inicial (se houver). Note que a separação descartou as soluções em que
; devemos acrescentá‑las explicitamente.
Passo 7
Soluções constantes perdidas na divisão/ separação: verificar
. Substituindo
ou
na equação original, obtemos
, então ambas são soluções válidas para todos os
. Essas soluções não aparecem na família obtida por separação (pois aí dividimos por
), por isso as incluímos à parte.
Passo 8
Comentário final e interpretação prática: a família geral de soluções é dada implicitamente por
ou explicitamente por
sob a condição
. Além disso, as duas soluções constantes
devem ser incluídas. Para usar a solução num problema com condição inicial, escolha
e o sinal de acordo com essa condição e verifique a região onde o radicando é não negativo.