Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
y^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+x^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
y^{2}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+x^{2}=0.
Informações dadas:
\;y é função de x e a equação relaciona y, sua derivada \mathrm{d}y/\mathrm{d}x e x.
Pergunta: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos deixar explícito o que podemos fazer com a expressão \mathrm{d}y/\mathrm{d}x. Primeiro isolamos o termo com a derivada:
y^{2}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -x^{2}.
Aqui \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} significa a taxa de variação de y em relação a x. A ideia é colocar todos os termos que dependem de y junto de \mathrm{d}y e todos os termos que dependem de x junto de \mathrm{d}x — isso se chama separar variáveis. Multiplicando ambos os lados por \mathrm{d}x obtemos
y^{2}\,\mathrm{d}y = -x^{2}\,\mathrm{d}x.
Agora as duas variáveis estão separadas: lado esquerdo só depende de y, lado direito só de x.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Vou usar a regra básica de integração conhecida como regra da potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,\mathrm{d}t = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando isso:
\int y^{2}\,\mathrm{d}y = \int -x^{2}\,\mathrm{d}x.
Calculando cada integral:
\frac{y^{3}}{3} = -\frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (um único C porque integrámos uma igualdade).

Passo 4

Multiplicando por 3 para simplificar a aparência, obtemos
y^{3} = -x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Podemos escrever a solução de duas formas úteis:
Forma implícita:
y^{3} + x^{3} = C_{1}.
Forma explícita (isolando y):
y = \bigl(C_{1} - x^{3}\bigr)^{1/3}.
Observações importantes e verificação: diferenciando a forma implícita \;y^{3}+x^{3}=C_{1}\; obtemos
3y^{2}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3x^{2}=0,
que reduz para \;y^{2}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+x^{2}=0\;, ou seja, a solução é consistente. Note que não existe solução constante y= constante que satisfaça a equação para todo x (verificando y=0 daria x^{2}=0 para todo x, o que é falso), então a família acima é a solução geral.

Passo 5

Um exemplo concreto: se C_{1}=8, então
y(x)=\bigl(8-x^{3}\bigr)^{1/3}.
Podemos avaliar para um valor qualquer, por exemplo x=1, y(1)=(8-1)^{1/3}=7^{1/3}. Isso te dá uma sensação prática de como usar a solução na prova: depois de integrar e obter a constante, você pode aplicar uma condição inicial (se houver) para determinar C_{1}.

Resposta

\;y^{3}+x^{3}=C\;
\;y=\bigl(C-x^{3}\bigr)^{1/3}\;

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