Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
Informações dadas:
é função de
e a equação relaciona
, sua derivada
e
.
Pergunta: encontrar a solução geral que satisfaz essa equação.
Pergunta: encontrar a solução geral
Passo 2
Vamos deixar explícito o que podemos fazer com a expressão
. Primeiro isolamos o termo com a derivada:
Aqui
significa a taxa de variação de
em relação a
. A ideia é colocar todos os termos que dependem de
junto de
e todos os termos que dependem de
junto de
— isso se chama separar variáveis. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora as duas variáveis estão separadas: lado esquerdo só depende de
, lado direito só de
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vou usar a regra básica de integração conhecida como regra da potência: para
,
Aplicando isso:
Calculando cada integral:
onde
é a constante de integração (um único
porque integrámos uma igualdade).
Passo 4
Multiplicando por
para simplificar a aparência, obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Podemos escrever a solução de duas formas úteis:
Forma implícita:
Forma explícita (isolando
):
Observações importantes e verificação: diferenciando a forma implícita
obtemos
que reduz para
, ou seja, a solução é consistente. Note que não existe solução constante
constante que satisfaça a equação para todo
(verificando
daria
para todo
, o que é falso), então a família acima é a solução geral.
Passo 5
Um exemplo concreto: se
, então
Podemos avaliar para um valor qualquer, por exemplo
,
. Isso te dá uma sensação prática de como usar a solução na prova: depois de integrar e obter a constante, você pode aplicar uma condição inicial (se houver) para determinar
.