Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
(1+x) y-(1+y) x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0, x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+x)\,y-(1+y)\,x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0,
com as condições de domínio x>0 e y>0. A incógnita é a função y=y(x). Portanto, a tarefa é encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa relação para x>0 e y>0. Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado já estão acima: a equação e os domínios de x e y.

Passo 2

Vamos manipular a equação para isolar \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Partimos de
(1+x)\,y-(1+y)\,x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.
Passando o termo que contém a derivada para o outro lado e dividindo por (1+y)x (note que, por hipótese, x>0 e y>0, então x(1+y)\neq0), obtemos
x(1+y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(1+x)\,y
e, portanto,
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{(1+x)}{x}\cdot\frac{y}{1+y}.
Essa forma já é mais amiga para ver o que fazer depois.

Passo 3

A equação está na forma em que as variáveis podem ser separadas (a chamada equação diferencial separável). “Separar variáveis” significa reescrever a equação como uma função apenas de y multiplicando \mathrm{d}y igual a uma função apenas de x multiplicando \mathrm{d}x. A partir de
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+x}{x}\cdot\frac{y}{1+y},
fazemos a separação: dividir ambos os lados por \dfrac{y}{1+y} e multiplicar por \mathrm{d}x. Isso dá
\frac{1+y}{y}\,\mathrm{d}y=\frac{1+x}{x}\,\mathrm{d}x.
Vou explicar cada passo dessa fração: \dfrac{1+y}{y}=\dfrac{1}{y}+1 e \dfrac{1+x}{x}=\dfrac{1}{x}+1. Essas formas são úteis na hora de integrar, porque conhecemos primitivas de \dfrac{1}{t} e de 1.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Integramos em y o lado esquerdo e em x o direito:
\int \frac{1+y}{y}\,\mathrm{d}y=\int \frac{1+x}{x}\,\mathrm{d}x.
Calculemos as primitivas com calma:
\frac{1+y}{y}=\frac{1}{y}+1,\quad\text{portanto}\quad \int\left(\frac{1}{y}+1\right)\mathrm{d}y=\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y+\int 1\,\mathrm{d}y=\ln y + y.
Analogamente,
\frac{1+x}{x}=\frac{1}{x}+1,\quad\text{portanto}\quad \int\left(\frac{1}{x}+1\right)\mathrm{d}x=\ln x + x.
Ao integrar ambos os lados obtemos a igualdade (adicionando a constante de integração C em um dos lados):
\ln y + y = \ln x + x + C,
onde C é uma constante real qualquer. Aqui usei que \ln é a primitiva de 1/t quando t>0; por isso a hipótese x>0,y>0 era importante.

Passo 5

Podemos rearranjar a solução implícita para uma forma um pouco mais compacta. Subtraindo \ln x + x de ambos os lados:
\ln y - \ln x + y - x = C.
Usando \ln y - \ln x=\ln\!\left(\dfrac{y}{x}\right) obtemos a forma
y - x + \ln\!\left(\frac{y}{x}\right)=C.
Essa é a solução implícita clássica. É aceitável entregá-la assim numa prova, porque fornece a relação que y(x) deve satisfazer. A constante C é determinada se tivesse uma condição inicial.

Passo 6

Se quisermos, podemos transformar a forma anterior para uma equação que permite escrever y explicitamente usando a função de Lambert W. Exponenciando a igualdade \ln y + y = \ln x + x + C, obtemos
y e^{y}=e^{C}\,x e^{x}.
Chamando K=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos
y e^{y}=K\,x e^{x}.
Pela definição da função de Lambert W (que resolve z=W(z)e^{W(z)}), segue que
y = W\!\big(K\,x e^{x}\big).
Essa é a forma explícita, usando W. Não é necessária numa prova básica, mas fica aqui como comentário: a forma implícita é geralmente suficiente e mais simples de apresentar.

Resposta

\ln y + y = \ln x + x + C
ou, equivalentemente,
\displaystyle y - x + \ln\!\left(\frac{y}{x}\right)=C
ou ainda (com K=e^{C}>0),
\displaystyle y e^{y}=K\,x e^{x}, ou y=W\!\big(K\,x e^{x}\big).

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