Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições de domínio
e
. A incógnita é a função
. Portanto, a tarefa é encontrar a família de funções
que satisfazem essa relação para
e
. Todas as informações relevantes dadas pelo enunciado já estão acima: a equação e os domínios de
e
.
Passo 2
Vamos manipular a equação para isolar
. Partimos de
Passando o termo que contém a derivada para o outro lado e dividindo por
(note que, por hipótese,
e
, então
), obtemos
e, portanto,
Essa forma já é mais amiga para ver o que fazer depois.
Passo 3
A equação está na forma em que as variáveis podem ser separadas (a chamada equação diferencial separável). “Separar variáveis” significa reescrever a equação como uma função apenas de
multiplicando
igual a uma função apenas de
multiplicando
. A partir de
fazemos a separação: dividir ambos os lados por
e multiplicar por
. Isso dá
Vou explicar cada passo dessa fração:
e
. Essas formas são úteis na hora de integrar, porque conhecemos primitivas de
e de
.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Integramos em
o lado esquerdo e em
o direito:
Calculemos as primitivas com calma:
Analogamente,
Ao integrar ambos os lados obtemos a igualdade (adicionando a constante de integração
em um dos lados):
onde
é uma constante real qualquer. Aqui usei que
é a primitiva de
quando
; por isso a hipótese
era importante.
Passo 5
Podemos rearranjar a solução implícita para uma forma um pouco mais compacta. Subtraindo
de ambos os lados:
Usando
obtemos a forma
Essa é a solução implícita clássica. É aceitável entregá-la assim numa prova, porque fornece a relação que
deve satisfazer. A constante
é determinada se tivesse uma condição inicial.
Passo 6
Se quisermos, podemos transformar a forma anterior para uma equação que permite escrever
explicitamente usando a função de Lambert
. Exponenciando a igualdade
, obtemos
Chamando
(uma constante positiva), temos
Pela definição da função de Lambert
(que resolve
), segue que
Essa é a forma explícita, usando
. Não é necessária numa prova básica, mas fica aqui como comentário: a forma implícita é geralmente suficiente e mais simples de apresentar.
Resposta
ou, equivalentemente,
ou ainda (com
),