Seja f(x)=\int_{0}^{x} \cos (2 t) d t. Determine o intervalo onde f(x) é côncava para cima.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
f(x)=\int_{0}^{x}\cos(2t)\,dt
e pede: determinar o(s) intervalo(s) onde f(x) é côncava para cima. Informações relevantes: a integranda \cos(2t) é contínua em \mathbb{R}, logo f é duas vezes diferenciável em \mathbb{R}. A pergunta é: para quais x temos que o gráfico de f é côncavo para cima?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): uma função f é côncava para cima num ponto x quando a sua segunda derivada satisfaz
f''(x)>0.
Explicando de leve: a segunda derivada mede a curvatura; se f''(x)>0 o gráfico “abre para cima” naquele ponto. Portanto vamos calcular f''(x) e resolver a desigualdade f''(x)>0.

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que diz que a derivada de uma integral com variável superior é a integranda avaliada na variável), temos diretamente
f'(x)=\cos(2x).
Se preferir ver a primitiva explicitamente, podemos calcular a integral:
\int \cos(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\sin(2t)+C,
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f(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2}\sin(0)=\tfrac{1}{2}\sin(2x),
cuja derivada confirma f'(x)=\cos(2x).

Passo 4

Agora derivamos f'(x) para obter a segunda derivada. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Com u=2x obtemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(2x)\big)=-\sin(2x)\cdot 2=-2\sin(2x).

Passo 5

Aplicamos o critério de concavidade: queremos f''(x)>0. Substituindo,
-2\sin(2x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2x)<0,
pois dividimos por -2 e invertemos o sinal. Agora precisamos resolver \sin(2x)<0.

Passo 6

Lembrete sobre o sinal do seno: \sin(\theta)<0 quando \theta está nos intervalos (\pi+2k\pi,\;2\pi+2k\pi) para k\in\mathbb{Z} (terceiro e quarto quadrantes). Tomando \theta=2x obtemos
2x\in(\pi+2k\pi,\;2\pi+2k\pi)\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\pi+k\pi\right),
para todo k\in\mathbb{Z}. Esses intervalos são abertos porque em suas fronteiras f''(x)=0 (pontos de inflexão em potencial), e concavidade estrita exige f''(x)>0.

Resposta

\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\pi+k\pi\right)

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