Seja
. Determine o intervalo onde
é côncava para cima.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por
e pede: determinar o(s) intervalo(s) onde
é côncava para cima. Informações relevantes: a integranda
é contínua em
, logo
é duas vezes diferenciável em
. A pergunta é: para quais
temos que o gráfico de
é côncavo para cima?
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): uma função
é côncava para cima num ponto
quando a sua segunda derivada satisfaz
Explicando de leve: a segunda derivada mede a curvatura; se
o gráfico “abre para cima” naquele ponto. Portanto vamos calcular
e resolver a desigualdade
.
Passo 3
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que diz que a derivada de uma integral com variável superior é a integranda avaliada na variável), temos diretamente
Se preferir ver a primitiva explicitamente, podemos calcular a integral:
logo
cuja derivada confirma
.
Passo 4
Agora derivamos
para obter a segunda derivada. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Com
obtemos
Passo 5
Aplicamos o critério de concavidade: queremos
. Substituindo,
pois dividimos por
e invertemos o sinal. Agora precisamos resolver
.
Passo 6
Lembrete sobre o sinal do seno:
quando
está nos intervalos
para
(terceiro e quarto quadrantes). Tomando
obtemos
para todo
. Esses intervalos são abertos porque em suas fronteiras
(pontos de inflexão em potencial), e concavidade estrita exige
.