Defina a função h(x) como h(x)=\int_{1}^{2 x} \frac{1}{t} d t. Encontre a expressão para h(x).

Passo 1

O enunciado define a função h(x) por
h(x)=\int_{1}^{2x}\frac{1}{t}\,dt.
O que ele pede: encontrar uma expressão explícita para h(x) (ou seja, escrever h(x) de forma fechada, sem integral). Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \dfrac{1}{t}.
  • O limite inferior da integral é 1 e o limite superior é 2x.
  • Note que a integranda \dfrac{1}{t} não está definida em t=0. Isso pode afetar para quais valores de x a integral faz sentido (vamos tratar disso mais adiante).

Passo 2

Lembrete importante sobre primitivas: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f(t) é outra função F(t) tal que F'(t)=f(t). Para f(t)=\dfrac{1}{t} (para t\neq 0) sabemos que uma primitiva é
F(t)=\ln|t| + C,
onde C é uma constante. Explicando por que isso é verdade: para t>0 a derivada de \ln t é \dfrac{1}{t}; para t<0 a derivada de \ln(-t) também é \dfrac{1}{t}. Por isso usamos \ln|t| para cobrir ambos os casos t\neq 0.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que, se F é uma primitiva de f, então \int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a)), temos
\int_{1}^{2x}\frac{1}{t}\,dt = \big[\ln|t|\big]_{t=1}^{t=2x} = \ln|2x| - \ln|1|.
Como \ln|1|=0, isso simplifica para
\int_{1}^{2x}\frac{1}{t}\,dt = \ln|2x|.

Passo 4

Agora temos que cuidar do domínio (quando a integral está bem definida). O integrando \dfrac{1}{t} tem singularidade em t=0. Como o limite inferior é 1>0, a integral \int_{1}^{2x}\dfrac{1}{t}\,dt só é um integral próprio (sem atravessar a singularidade) se o limite superior 2x também for positivo, isto é, se 2x>0. Portanto a integral está bem definida apenas para x>0. Para x\le 0 a trajetória de integração do ponto t=1 até t=2x cruza t=0 e a integral imprópria diverge (não tem valor finito).

Passo 5

Podemos reescrever a resposta em formas equivalentes para x>0. Como para x>0 vale |2x|=2x, obtemos
h(x)=\ln(2x)=\ln 2 + \ln x,\qquad x>0.
Uma verificação rápida pela regra da cadeia: derivando \ln(2x) obtemos \dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}, que é compatível com a fórmula de derivação por limite superior variável h'(x)=\frac{1}{2x}\cdot(2)=\frac{1}{x}. Isso confirma que a expressão está coerente.

Resposta

h(x)=\ln(2x),\quad x>0

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