Defina a função
como
. Encontre a expressão para
.
Passo 1
O enunciado define a função
por
O que ele pede: encontrar uma expressão explícita para
(ou seja, escrever
de forma fechada, sem integral). Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é
e o limite superior é . - Note que a integranda
não está definida em . Isso pode afetar para quais valores de a integral faz sentido (vamos tratar disso mais adiante).
Passo 2
Lembrete importante sobre primitivas: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
é outra função
tal que
. Para
(para
) sabemos que uma primitiva é
onde
é uma constante. Explicando por que isso é verdade: para
a derivada de
é
; para
a derivada de
também é
. Por isso usamos
para cobrir ambos os casos
.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que, se
é uma primitiva de
, então
), temos
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Agora temos que cuidar do domínio (quando a integral está bem definida). O integrando
tem singularidade em
. Como o limite inferior é
, a integral
só é um integral próprio (sem atravessar a singularidade) se o limite superior
também for positivo, isto é, se
. Portanto a integral está bem definida apenas para
. Para
a trajetória de integração do ponto
até
cruza
e a integral imprópria diverge (não tem valor finito).
Passo 5
Podemos reescrever a resposta em formas equivalentes para
. Como para
vale
, obtemos
Uma verificação rápida pela regra da cadeia: derivando
obtemos
, que é compatível com a fórmula de derivação por limite superior variável
. Isso confirma que a expressão está coerente.