Resolva as seguintes equações diferenciais: y^{\prime \prime}=1-\left(y^{\prime}\right)^{2};
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial
y'' = 1 - \bigl(y'\bigr)^2.
Informações dadas e o que devemos devolver:
A incógnita é a função y(x) de variável real x.
A equação envolve a segunda derivada y'' e a primeira derivada y'.
Deve-se encontrar a solução geral (familia de soluções) da equação diferencial, ou seja, y(x) contendo constantes arbitrárias suficientes.
Passo 2
Primeira ideia prática: reduzir a ordem usando p(x)=y'(x). Isso é muito útil quando a equação depende somente de y' e y'', sem aparecer y explicitamente. Definindo
p(x)=y'(x),
temos
p'(x)=y''(x)=1 - p(x)^2.
Agora o problema virou uma equação de primeira ordem para p(x):
\frac{dp}{dx}=1-p^{2}.
A vantagem é que essa nova equação é separável — dá para separar p e x em lados opostos.
Passo 3
Separe as variáveis e prepare para integrar:
\frac{dp}{1-p^{2}}=dx.
Para integrar o lado esquerdo convém usar frações parciais. Observe que
Agora resolvemos para p. Multiplicando ambos os lados por 1-p e isolando p dá:
1+p = K e^{2x}(1-p) \quad\Rightarrow\quad 1+p = K e^{2x} - K e^{2x} p,
p + K e^{2x} p = K e^{2x} - 1 \quad\Rightarrow\quad p\bigl(1+K e^{2x}\bigr) = K e^{2x}-1,
p(x)=\frac{K e^{2x}-1}{K e^{2x}+1}.
Essa expressão é a forma explícita de p=y' em termos de uma constante K. Dependendo do sinal de K essa função pode ser escrita com hiperbólicas conhecidas.
Passo 5
Interprete a solução para p em termos de funções hiperbólicas e casos especiais:
Se K>0, escreva K=e^{2C_{1}} (algum C_{1}\in\mathbb{R}). Então
onde |p(x)|>1 onde \coth está definida. Note que a transformação algébrica levou à forma \coth.
Há também as soluções de equilíbrio de \dfrac{dp}{dx}=1-p^{2}, que ocorrem quando 1-p^{2}=0, ou seja p\equiv 1 e p\equiv -1. Essas correspondem aos casos-limite K\to\infty e K\to 0 da fórmula, e devem ser incluídas explicitamente:
Terceiro caso: y'(x)\equiv 1 ou y'(x)\equiv -1. Integramos diretamente:
y(x)=x+C_{2}\quad\text{ou}\quad y(x)=-x+C_{2}.
Passo 7
Comentários sobre domínio e continuidade:
As soluções com \operatorname{tanh} são definidas e suaves para todo x.
As soluções com \coth têm singularidades onde \operatorname{sinh}(x+C_{1})=0; portanto essas soluções estão definidas em intervalos que não contêm esses pontos.
As retas y=\pm x + C_{2} são soluções globais e suaves.