Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}=1-\left(y^{\prime}\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial
y'' = 1 - \bigl(y'\bigr)^2.
Informações dadas e o que devemos devolver:
  • A incógnita é a função y(x) de variável real x.
  • A equação envolve a segunda derivada y'' e a primeira derivada y'.
  • Deve-se encontrar a solução geral (familia de soluções) da equação diferencial, ou seja, y(x) contendo constantes arbitrárias suficientes.

Passo 2

Primeira ideia prática: reduzir a ordem usando p(x)=y'(x). Isso é muito útil quando a equação depende somente de y' e y'', sem aparecer y explicitamente. Definindo
p(x)=y'(x),
temos
p'(x)=y''(x)=1 - p(x)^2.
Agora o problema virou uma equação de primeira ordem para p(x):
\frac{dp}{dx}=1-p^{2}.
A vantagem é que essa nova equação é separável — dá para separar p e x em lados opostos.

Passo 3

Separe as variáveis e prepare para integrar:
\frac{dp}{1-p^{2}}=dx.
Para integrar o lado esquerdo convém usar frações parciais. Observe que
\frac{1}{1-p^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{1+p}\right).
Então
\int\frac{dp}{1-p^{2}}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-p}+\frac{1}{1+p}\right)dp.
Calcule cada integral (atenção aos sinais ao integrar \tfrac{1}{1-p}):
\int\frac{1}{1-p}\,dp=-\ln|1-p|,\qquad \int\frac{1}{1+p}\,dp=\ln|1+p|.
Portanto
\int\frac{dp}{1-p^{2}}=\frac{1}{2}\bigl(-\ln|1-p|+\ln|1+p|\bigr)=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+p}{1-p}\right|.

Passo 4

Integre a equação separada e obtenha a relação implícita:
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+p}{1-p}\right|=x+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2 e exponenciando,
\left|\frac{1+p}{1-p}\right|=e^{2(x+C)}.
Para absorver o valor absoluto e a constante exponenciada, escrevemos de forma equivalente (permitindo constante real não nula K):
\frac{1+p}{1-p}=K e^{2x},\qquad K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Agora resolvemos para p. Multiplicando ambos os lados por 1-p e isolando p dá:
1+p = K e^{2x}(1-p) \quad\Rightarrow\quad 1+p = K e^{2x} - K e^{2x} p,
p + K e^{2x} p = K e^{2x} - 1 \quad\Rightarrow\quad p\bigl(1+K e^{2x}\bigr) = K e^{2x}-1,
p(x)=\frac{K e^{2x}-1}{K e^{2x}+1}.
Essa expressão é a forma explícita de p=y' em termos de uma constante K. Dependendo do sinal de K essa função pode ser escrita com hiperbólicas conhecidas.

Passo 5

Interprete a solução para p em termos de funções hiperbólicas e casos especiais:
  • Se K>0, escreva K=e^{2C_{1}} (algum C_{1}\in\mathbb{R}). Então
p(x)=\frac{e^{2(x+C_{1})}-1}{e^{2(x+C_{1})}+1}=\operatorname{tanh}\bigl(x+C_{1}\bigr).
Neste caso |p(x)|<1 para todos x.
  • Se K<0, escreva K=-e^{2C_{1}} com C_{1}\in\mathbb{R}. Então, após simplificar,
p(x)=\frac{-e^{2(x+C_{1})}-1}{-e^{2(x+C_{1})}+1}=\frac{e^{2(x+C_{1})}+1}{e^{2(x+C_{1})}-1}=\coth\bigl(x+C_{1}\bigr),
onde |p(x)|>1 onde \coth está definida. Note que a transformação algébrica levou à forma \coth.
  • Há também as soluções de equilíbrio de \dfrac{dp}{dx}=1-p^{2}, que ocorrem quando 1-p^{2}=0, ou seja p\equiv 1 e p\equiv -1. Essas correspondem aos casos-limite K\to\infty e K\to 0 da fórmula, e devem ser incluídas explicitamente:
p(x)\equiv 1\quad\text{e}\quad p(x)\equiv -1.
Resumo para p=y':
y'(x)=\operatorname{tanh}\bigl(x+C_{1}\bigr)\quad(\text{quando }|y'|<1),
y'(x)=\coth\bigl(x+C_{1}\bigr)\quad(\text{quando }|y'|>1),
ou
y'(x)\equiv \pm 1.

Passo 6

Integre y'(x) para obter y(x). Primeiro caso: y'(x)=\operatorname{tanh}\bigl(x+C_{1}\bigr).
Use a primitiva conhecida de \operatorname{tanh}:
\frac{d}{du}\bigl(\ln\operatorname{cosh} u\bigr)=\operatorname{tanh} u.
Fazendo u=x+C_{1} e integrando,
y(x)=\ln\operatorname{cosh}\bigl(x+C_{1}\bigr)+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração real.
Segundo caso: y'(x)=\coth\bigl(x+C_{1}\bigr).
A primitiva de \coth u é \ln|\operatorname{sinh} u|, isto é
\frac{d}{du}\bigl(\ln|\operatorname{sinh} u|\bigr)=\coth u.
Portanto integrando,
y(x)=\ln\bigl|\operatorname{sinh}\bigl(x+C_{1}\bigr)\bigr|+C_{2}.
Terceiro caso: y'(x)\equiv 1 ou y'(x)\equiv -1. Integramos diretamente:
y(x)=x+C_{2}\quad\text{ou}\quad y(x)=-x+C_{2}.

Passo 7

Comentários sobre domínio e continuidade:
  • As soluções com \operatorname{tanh} são definidas e suaves para todo x.
  • As soluções com \coth têm singularidades onde \operatorname{sinh}(x+C_{1})=0; portanto essas soluções estão definidas em intervalos que não contêm esses pontos.
  • As retas y=\pm x + C_{2} são soluções globais e suaves.

Resposta

y(x)=\ln\operatorname{cosh}\bigl(x+C_{1}\bigr)+C_{2}
y(x)=\ln\bigl|\operatorname{sinh}\bigl(x+C_{1}\bigr)\bigr|+C_{2}
y(x)=x+C_{2}
y(x)=-x+C_{2}

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